这两个嵌套循环真的具有相同的二次时间复杂度吗？

Question

以下是我提出的算法的一部分：

for (int i = 0; i < n - 1; i++)
   for (int j = i; j < n; j++)
      (...)

我正在使用这个“双循环”来测试大小为n的数组中所有可能的2元素和。

显然（我必须同意），这个“双循环”是O(n²)：

n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = sum from 1 to n = (n (n - 1))/2

这是我感到困惑的地方：

for (int i = 0; i < n; i++)
   for (int j = 0; j < n; j++)
      (...)

第二个“双循环”也具有O(n²)的复杂度，当它明显（最差）比第一个更好（？）时。

我错过了什么？信息准确吗？有人可以解释这个“现象”吗？

Answer 1

(n (n - 1))/2简化为n²/2 - n/2。如果对n使用非常大的数字，n/2的增长率与n²相比会相形见绌，因此为了计算Big-O复杂度，您实际上会忽略它。同样，＆＃34;常数＆＃34;当n增加时，1/2的值不会增长，所以你也忽略它。这只会让你n²。

请记住，复杂度计算与＆＃34;速度＆＃34;不同。一种算法可能比另一种算法慢五千倍，并且仍具有较小的Big-O复杂度。但是当你将n增加到非常大的数字时，会出现一般模式，通常可以使用简单的公式进行分类：1，log n，n，n log n， n²等等。

创建图表并查看显示的行类型有时会有所帮助：

即使这两个图的缩放系数非常不同，您也可以看到它产生的曲线类型几乎完全相同。

Answer 2

常数因素。

Big-O表示法忽略常数因子，因此即使第二个循环因常数因子较慢，它们也会以相同的时间复杂度结束。

在the definition中，它告诉您可以选择任何旧的常数因子：

  

...当且仅当存在正常数M ...

这是因为我们想要分析算法的增长率 - 常数因素只会使事情复杂化并且通常依赖于系统（操作在不同机器上的持续时间可能不同）。

你可以只计算某些类型的操作，但问题就变成了选择哪个操作，以及如果该操作在某些算法中不占主导地位。然后你需要将操作相互关联（以独立于系统的方式，这可能是不可能的），或者你可以为每个操作分配相同的权重，但是这将是相当不准确的，因为一些操作会显着比其他人更长。

说O(15n² + 568n + 8 log n + 23 sqrt(n) + 17)（例如）真的有用吗？而不仅仅是O(n²)。

---

（出于以下目的，假设为n >= 2）

请注意，我们实际上这里的渐近变小（即，我们接近无穷大）这些术语，但我们总是可以将其简化为常数因素。 （It's n(n+1)/2, not n(n-1)/2）

n(n+1)/2 = n²/2 + n/2
       and
n²/2 <= n²/2 + n/2 <= n²

鉴于我们刚刚显示n(n+1)/2位于C.n²和D.n²之间，对于两个常数C和D，我们＆＃39 ; ve也刚刚表明它是O(n²)。

注意 - big-O表示法实际上严格来说是一个上限（所以我们只关心它比一个函数小，而不是两个之间），但它通常用来表示{{1} （big-Theta），它关心两个边界。

Answer 3

来自The Big O page on Wikipedia

  

在典型用法中，不使用O表示法的正式定义   直;相反，函数f的O表示法是由   遵循简化规则：
  如果f（x）是几个项的总和，那么   保留增长率最大的一个，其他所有省略

Big-O仅用于给出渐近行为 - 一个比另一个更快进入它 - 它们都是O（N ^ 2）

Answer 4

你也可以说第一个循环是O（n（n-1）/ 2）。 big-O的奇特数学定义类似于：

如果存在常数c，n，则函数“f”是函数“g”的大-O，使得f（x）< c * g（x）表示某些c和所有x> ñ。

这是一种奇特的方式，说g在某个点上面是一个上限，并且有一些常量应用。然后，O（n（n-1）/ 2）= O（（n ^ 2-n）/ 2）是O（n ^ 2）的大O，这对于快速分析来说更加简洁。

Answer 5

AFAIK，您的第二个代码段

for(int i = 0; i < n; i++) <-- this loop goes for n times
     for(int j = 0; j < n; j++) <-- loop also goes for n times
          (...)

基本上，它的时间复杂度O(n*n) = O(n^2)。

根据BIG-O理论，常数因子被忽略，只考虑更高阶。这就是说，如果复杂性为O(n^2+k)，那么实际复杂性将O(n^2)常量k将被忽略。

（OR）如果复杂度为O(n^2+n)，则实际复杂度为O(n^2)，将忽略低阶n。

因此，在第一种情况下，复杂度为O(n(n - 1)/2)将/可简化为

O(n^2/2 - n/2) = O(n^2/2) (Ignoring the lower order n/2)
= O(1/2 * n^2)
= O(n^2) (Ignoring the constant factor 1/2)