我对算法类的以下作业问题感到困惑：
假设我们有一个序列 n值x 1 ，x 2 ... x n ，并寻求 快速回答重复的询问 形式：给定i和j，找到最小的 x i ... x j
中的值设计使用O（n）的数据结构 O（log n）中的空格和答案查询 时间。
首先，我不确定序列是指一个有序集合，还是一个未排序的集合 - 但由于它没有说明，否则我将假设 sequence 意思是未分类。
所以，我意识到这显然必须涉及二叉树，如果我们谈论的是O（log N）查找时间。基本上，我想，你有一个集S，然后将S中的每个元素插入到二叉树中。问题是，这个问题基本上要我提出一种方法来回答查询，其中我将一系列索引分配到未排序的集合中 - 然后确定O中该范围内的最低值（记录N）时间。怎么可能？即使将每个数量的集合插入树中，我能做的最好的事情是在O（log N）时间内查找任何特定的数字。这不允许我在S中找到未排序数字范围内的最低值。
有什么建议吗？
答案 0 :(得分：12)
如果对该集进行了排序，则不需要树。范围[i，j]中的最小元素将具有索引i。
假设序列的元素按照它们在树叶处的索引的顺序存储。您是否可以在每个内部节点存储任何其他信息（ ahem ，可能是某种最小值和最大值）以方便您的查询？
如果是，那么如果树是平衡的，并且如果你可以通过仅查看从根到{i，j}的两个元素的两条路径来回答你的查询，那么你将实现你的O（log N查找成本。由于具有N个叶子的平衡二叉树包含（2N-1）个总节点，因此您还将满足O（N）存储限制。
更多细节：考虑计算[i，j]范围内的最小值。
在树的每个内部节点A处，保留其下方所有叶子的最小值。这可以在首次构建树时自下而上计算。
现在从叶i开始。走上树，把你的候选人最小值保持在i的值或任何已知的j和i的左边。停止i和j的共同祖先下面的一个节点。
再次从叶j开始。走上树，再次保持你的候选人最小值为j或任何已知的左边j和i左边。
[i，j]的最小值是您计算的两个值的最小值。计算最大值是类似的。总存储要求是每个内部节点2个值加上每个内部节点两个指针加上每个叶子一个值，对于完整树来说是N + 4（N-1）。
你从向向树林旅行的路径，如果你正在寻找叶子，那么就是你将向下树的路径。
C＃代码搜索：
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace RangeSearch
{
public class RangeSearch
{
int[] tree;
int N;
int LeafLocation(int leafNumber) { return leafNumber + N - 1; }
int LeafValue(int leafNumber) { return tree[ LeafLocation(leafNumber)]; }
int LeftChild(int x) { return 2*x + 1; }
int RightChild(int x) { return 2*x + 2; }
int Parent(int x) { return (x-1)/2; }
bool IsPowerOf2(int x) { while (x > 0) { if (x == 1) return true; if ((x & 1) == 1 ) return false; x = x >> 1; } return false; }
bool IsAncestorOf( int x, int y ) { if( x>y ) return false; return x==y || IsAncestorOf(LeftChild(x), y) || IsAncestorOf(RightChild(x),y); } // note: violating time bound for legibility, can fix by storing min/max descendant index at each node
public RangeSearch(params int[] vals)
{
if (!IsPowerOf2(vals.Length))
throw new ArgumentException("this implementation restricted to N being power of 2");
N = vals.Length;
tree = new int[2 * N - 1];
// the right half of the array contains the leaves
vals.CopyTo(tree, N - 1);
// the left half of the array contains the interior nodes, each of which holds the minimum of all its children
for (int i = N - 2; i >= 0; i--)
tree[i] = Math.Min(tree[LeftChild(i)], tree[RightChild(i)]);
}
public int FindMin(int a, int b)
{
if( a>b )
throw new ArgumentException( "FindMin expects a range [a,b] with a<=b" );
int x = Walk( a, true, b);
int y = Walk( b, false, a);
return Math.Min(x, y);
}
int Walk( int leafNumber, bool leftSide, int otherLeafNumber )
{
int minSoFar = LeafValue(leafNumber);
int leafLocation = LeafLocation(leafNumber);
int otherLeafLocation = LeafLocation(otherLeafNumber);
int parent = Parent(leafLocation);
bool cameFromLeft = (leafLocation == LeftChild(parent));
return Walk2(minSoFar, parent, cameFromLeft, leftSide, otherLeafLocation);
}
int Walk2(int minSoFar, int node, bool cameFromLeft, bool leftSide, int otherLeafLocation)
{
if (IsAncestorOf(node, otherLeafLocation))
return minSoFar;
if (leftSide)
minSoFar = !cameFromLeft ? minSoFar : Math.Min(minSoFar, tree[RightChild(node)]);
else
minSoFar = cameFromLeft ? minSoFar : Math.Min(minSoFar, tree[LeftChild(node)]);
return Walk2(minSoFar, Parent(node), node == LeftChild(Parent(node)), leftSide, otherLeafLocation);
}
}
}
C＃代码测试它：
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace RangeSearch
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
RangeSearch rngA = new RangeSearch(9, 3, 7, 1);
System.Diagnostics.Trace.Assert(3 == rngA.FindMin(0, 2) );
System.Diagnostics.Trace.Assert(1 == rngA.FindMin(0, 3));
System.Diagnostics.Trace.Assert(1 == rngA.FindMin(1, 3));
RangeSearch rngB = new RangeSearch(1, 7, 3, 9);
System.Diagnostics.Trace.Assert(3 == rngB.FindMin(1, 3));
System.Diagnostics.Trace.Assert(1 == rngB.FindMin(0, 3));
System.Diagnostics.Trace.Assert(1 == rngB.FindMin(0, 2));
RangeSearch rngC = new RangeSearch(17, 21, 77, 70, 58, 79, 79, 89);
System.Diagnostics.Trace.Assert(21 == rngC.FindMin(1, 7));
RangeSearch rngD = new RangeSearch(94, 78, 88, 72, 95, 97, 89, 83);
System.Diagnostics.Trace.Assert(72 == rngD.FindMin(1, 6));
RangeSearch rngE = new RangeSearch(0, 66, 6, 43, 34, 34, 63, 49);
System.Diagnostics.Trace.Assert(34 == rngE.FindMin(3, 4));
Random rnd = new Random();
for (int i = 0; i < 1000000; i++)
{
int[] tmp = new int[64];
for (int j = 0; j < tmp.Length; j++)
tmp[j] = rnd.Next(0, 100);
int a = rnd.Next(0, tmp.Length);
int b = rnd.Next(a, tmp.Length);
RangeSearch rng = new RangeSearch(tmp);
System.Diagnostics.Trace.Assert(Min(tmp, a, b) == rng.FindMin(a, b));
}
}
static int Min(int[] ar, int a, int b)
{
int x = ar[a];
for (int i = a + 1; i <= b; i++)
x = Math.Min(x, ar[i]);
return x;
}
}
}
答案 1 :(得分：8)
好的，我认为我有一个良好的开端，我在这个过程中学到了一些新东西。
我会看一下Cartesian trees上的维基百科条目。我不会因为害怕为你做功课而告诉你更多，但你看起来像个聪明人，所以我想你可以解决它。
顺便说一句，感谢您帮助我学习新的数据结构！
答案 2 :(得分：1)
知道该集合是有序的允许您使用Cartesian Tree，这是Range minimum queries的理想数据结构。
答案 3 :(得分：0)
您是否考虑过间隔树？
查看维基百科条目，它似乎与您要求的内容非常匹配。 http://en.wikipedia.org/wiki/Interval_tree
编辑：
是的，间隔树似乎不适合这种情况......
答案 4 :(得分：0)
一些刺激：
假设你以某种方式存储了长度为1,2,4,8 ......的所有良好对齐的*子阵列的最小值？您是否可以通过查看返回正确答案来获得这些最小值？如何存储它们以便有效地检索它们？
（*例如存储min（x 0 ... 3 ）和min（x 4 ... x 7 ），但不是min（x 1 ... x 4 ））
答案 5 :(得分：0)
您可以使用“细分树” 。在段发束中，更新和查询时间均为O（登录）。如果您想了解其工作原理，请点击以下链接。