时间复杂性和硕士定理

Question

我试图更好地理解师父的定理和时间复杂性。我在网上找到了一些我正在练习的例子。我的工作是否正确？

T(N) = 3T(N/3) + O(N)

将具有时间复杂度Θ（n），因为log（base 3）3 = 1.因此，Θ（n ^ 1）+ O（N）被简化为Θ（n）。

T(N) = 3T(2N/3) + O(1)

这个我不明白。我知道它是stooge排序算法，但是如果使用master's定理，a和b都不是3，使log（base 3）3 = 1，使得Θ（n）？我知道这是不正确的，但我很难理解主人的定理。

T(N) = 4T(N/2) + O(N)

将具有时间复杂度Θ（n ^ 2），因为log（base 2）4 = 2.然后，N ^（log（base 2）4）= N ^ 2

T(N) = 2T(N/2) + O(N log(N))

这里我认为它只是O（N log（N）），因为2的log（基数2）是1。

Answer 1

主定理

： -

if 
T(n) = aT(n/b) + f(n^k)

if loga/logb > k  then T(n) = O(n^(loga/logb))

if loga/logb < k  then T(n) = O(n^k)

else T(n) = O(n*logn)

 1. a = 3 b = 3 k=0  loga/logb = 1 = k    hence T(n) = O(nlogn)
 2. a = 3 b = 3/2 k=0 log3/log(3/2) > 1 > k  hence T(n) = O(n^(log3/log(3/2)))
 3. a = 4 b = 2 k = 1 log4/log2 = 2 > 1  hence T(n) = O(n^2)

Answer 2

首先让我们详细介绍一下主定理，并分析您的四种情况。

在上图中，它显示了每个级别的复杂度：

然后我们汇总各个级别的所有计算并得出总计：

这时，我们只需要分析由一个乘积因子（或公比）a/b^d决定的，是一个几何级数的总函数即可。

1. 如果公用比率大于1，则到最后一项将呈指数增长：
   当a/b^d > 1或d<log_b a时是大O。

2. 如果公共比率小于1，则从第一项n^d开始将发生指数衰减，当a/b^d < 1或{{1 }}。

3. 如果公共比率等于1，则该级数将是一个恒定序列，我们将所有项相加：
   

---

在您的情况1 中，d > log_b a，我们首先看到公用比率T(N) = 3T(N/3) + O(N)。

对于您的情况2 a/b^d = 3/3^1=1，它将为T(N) = 3T(2N/3) + O(1)（其中a = 3，b = 3/2和d = 0），因此大O将是：。

对于案例3 a/b^d = 3/(3/2)^0 = 3 > 1，a为4，b为2，d为1。

对于您的第四种情况 T(N) = 4T(N/2) + O(N)，自T(N) = 2T(N/2) + O(N log(N))到a/b^d = 2/2^1.x以来，公共比率将小于1，则几何级数将呈指数衰减。因此，第一项d > 1将主导该系列，因此它将是一个大O。

参考：

1. https://www.coursera.org/learn/algorithmic-toolbox