Question

以下递归算法的复杂性是什么？

void rec(n){
 if(n<=0)
    return;
 else
    rec(n/3)+rec(n/2); 
}

Answer 1

上述程序的时间复杂度为O(2 ^ k)，其中k为递归深度。在这里，2源自以下事实：在每个递归调用中，我们都给另外两个递归调用提供了调用。现在，让我们分析最深的递归深度（k）。

在上图中，递归路径在每个步骤中除以2将花费更长的时间才能达到其小于1的值（这是基本情况），因此它将是最深的递归深度。因为，每次我们将n除以2。日志步骤将达到少于1。尽管我们也将n除以3。将n除以2将花费更长的时间，因此是最深的递归深度的决定因素。有关详细信息：

在1st调用中，我们将n减小n /2。
在2nd调用中，我们将n减小n   （n / 2）/ 2 = n / 4 = n / 2 ^ 2。
因此，在Kth步骤中，我们减少了n   作者：n / 2 ^ k =1。
因此，n = 2 ^ k。

两边都以2为底的对数，

log2 n = log2（2 ^ k）
  log2 n = k log2（2）
  log2 n = k * 1 [因为log2（2）是1]

因此，在最深的递归深度中，我们需要k = log(n)步才能达到n = 1，再需要一步才能达到n <=0。但是，总体而言，递归深度将在{{1 }}到log3 n。

因此，在最坏的情况下，总体时间复杂度为log2 n。但是，由于我们也将O(2 ^ log n)除以n，因此从顶部到叶节点的所有递归路径深度都不会与3相同。因此，我们可以将时间复杂度总结为log n，其中k是递归深度。