八度音中的特征值与eig（）

Question

考虑真实的对称矩阵

S = (2, 1; 1, 2)

从特征方程| S - λI|，我们得到二次（2-λ）^ 2 - 1 = 0，其解得到特征值3和1.相应的特征向量是（1; -1）和（1; 1）

octave:4> [V,lambda] = eig([2, 1; 1,2])
V =

  -0.70711   0.70711
   0.70711   0.70711

lambda =

Diagonal Matrix

   1   0
   0   3

为什么八度音程中的特征向量[-0.70711; 0.70711]和[0.70711; 0.70711]

Answer 1

给定λ ₁ = 3，相应的特征向量为：

| 2 1 |   |x|     |x|
|     | * | | = 3 | |   =>   x = y
| 1 2 |   |y|     |y|

即。对于任何非零实数x，形式[x，x]'的任何向量都是特征向量。因此[0.70711, 0.70711]'是一个与[1, 1]'一样有效的特征向量。

Octave（也是Matlab）选择这样的值，使得每个特征向量的元素的平方和等于1（特征向量被归一化为具有1的范数并且被选择为正交，确切地说）。 / p>

当然，这同样适用于λ ₂ = 1。

Answer 2

换句话说，V是[1 1的qr之一; -1 1]

所以你可以这样检查。

a = [1 1; -1 1]
[q,r] = qr(a)

q = 
   -0.70711  0.70711
    0.70711  0.70711

结果与eig相同。

Answer 3

Manlio是正确的，原因如下：

任何特征值问题都有无数个特征向量。当您手动找到特征向量时，您实际计算的是一个参数化向量，表示无限族解。对于给定的特征值，特定特征向量Octave（和大多数计算机软件）返回的元素可用于形成与该特征值相关联的本征空间的标准正交基矢量。这些基矢量的任何线性组合将是特征向量。

因此，如果你期望一个不同的特征向量，只需检查以确保它线性地依赖于八度计算的基矢量。