Question

我真的很困惑简化这种递归关系：c（n）= c（n / 2）+ n ^ 2.

所以我先得到了：

c（n / 2）= c（n / 4）+ n ^ 2 所以 c（n）= c（n / 4）+ n ^ 2 + n ^ 2 c（n）= c（n / 4）+ 2n ^ 2

c（n / 4）= c（n / 8）+ n ^ 2 所以 c（n）= c（n / 8）+ 3n ^ 2

我确实注意到了一种模式：

2提升到“n ^ 2”前面的任何系数的幂，给出了n结束的分母。

我不确定这是否会有所帮助。

我只是不明白如何简化这种递归关系，然后找到它的theta符号。

编辑：其实我刚刚完成了它，我得到了c（n）= c（n / n）+ n ^ 2 * lgn。

我认为这是正确的，但我不确定。另外，我怎么能找到那个theta符号呢？它只是theta（n ^ 2lgn）？

Answer 1

首先，在将n/2放在lhs上时，请务必在原始递归关系中出现{strong>替换 n c(n/2)。

即

c(n/2) = c(n/4) + (n/2)^2

你的直觉是正确的，因为它是问题的一个非常重要的部分。在我们到达n之前，您可以将2除以1多少次？

让我们以8为例

8/2 = 4
4/2 = 2
2/2 = 1

你看到3，结果是log(8)

为了证明theta符号，查看master theorem可能会有所帮助。这是证明递归关系复杂性的非常有用的工具。

使用主定理案例3，我们可以看到

a = 1
b = 2
logb(a) = 0
c = 2
n^2 = Omega(n^2)
k = 9/10
(n/2)^2 < k*n^2
c(n) = Theta(n^2)

答案为Theta(n^2)的原因的直觉是你有n^2 + (n^2)/4 + (n^2)/16 + ... + (n^2)/2^(2n)，它不会给我们logn n^2，而是越来越小n^2Š

Answer 2

让我们回答更复杂的表格问题： r(n) = r(d(n)) + f(n)。对功能有一些限制，需要进一步讨论，例如：如果x是d的修正点，则f(x)应为0，否则无法解决问题。在您的具体情况下，这个条件得到满足。

重新排列等式，我们得到r(n) - r(d(n)) = f(n)，我们得到的直觉是r(n)和r(d(n))都是某些术语的总和，但r(n)还有一个术语比r(d(n))，f(n)为差异的原因。另一方面，r(n)和r(d(n))必须具有相同的＆＃39;形式＆＃39;，因此前面提到的总和中的术语数量必须是无限的。

因此，我们正在寻找一个伸缩总和，其中r(d(n))的术语取消r(n)的所有术语：

  r(n)    = f(n) + a_0(n) + a_1(n) + ...
- r(d(n)) =      - a_0(n) - a_1(n) - ...

后者意味着

  r(d(n)) =        a_0(n) + a_1(n) + ...

只需将d(n)替换为n到[{1}}的等式中，我们就得到：

r(n)

所以选择r(d(n)) = f(d(n)) + a_0(d(n)) + a_1(d(n)) + ...，a_0(n) = f(d(n))等等：a_1(n) = a_0(d(n)) = f(d(d(n)))（彼此a_k(n) = f(d(d(...d(n)...)))件k+1），我们就会得到正确的答案溶液

因此，一般来说，解决方案的格式为d，其中r(n) = sum{i=0..infinity}(f(d[i](n)))表示函数d[i](n)，d(d(...d(n)...))函数的迭代次数i

对于您的案例d和d(n)=n/2，您可以使用几何系列的标识以封闭形式获得解决方案。最终结果是f(n)=n^2。

Answer 3

前进硕士定理。

T(n) = aT(n/b)+n^klog^p

where a>0 b>1 k>0 p=real number.

case 1: a>b^k

         T(n) = 0(n^logba)  b is in base.
case 2 a=b^k

 1. p>-1 T(n)  than T(n)=0(n^logba log^p+1)
 2. p=-1 Than T(n)=0(n^logba logn)
 3. p<-1 than T(n)=0(n^logba)

case 3: a<b^k

 1.if p>=0 than T(n)=0(n^k log^p n)
 2 if p<0 than T(n)=O(n^k)

forgave常量bcoz常量不会改变时间复杂度或不变处理器到处理器。（即n / 2 == n * 1/2 == n）

简化递归关系c（n）= c（n / 2）+ n ^ 2

3 个答案: