算法的设计与分析：递归关系

Question

我对解决这种递归关系非常怀疑。任何人都可以为我提供解决方案吗？

关系：

T（n）= Sumation i = 1到N T（i）+1 ......，

bigOh订单是什么？

Answer 1

获取第一顺序差异可以让你摆脱总和。

T(n) - T(n-1) = (Sum(1<=i<n: T(i)) + 1) - (Sum(1<=i<n-1: T(i)) + 1) = T(n-1)

因此

T(n) = 2.T(n-1)

Answer 2

递归关系描述了一个数字序列。明确指定了早期术语，后来的术语则表示为其前身的功能。作为一个简单的例子，此重复描述了序列1、2、3等：

    void Sample(int n)
    {
        if (n > 0) {
            Sample(n-1);
            System.out.println('here');
        } else {
            return 1;
        }
    }

    Sample(3);

在这里，第一个术语定义为1，而每个后续术语都比其前任多一个。为了分析递归关系，我们需要知道每行代码的执行时间，在上面的示例中：

    void Sample(int n)
    {
               if (n > 0) {
     // T(n-1)      Sample(n-1);
     // 1           System.out.println('here');
               } else {
                   return 1;
               }
    } 

我们将T（n）定义为：

对于求解T(n)= T(n-1)+1，如果我们知道T(n-1)是什么，那么我们可以用它代替并得到答案，然后用n代替它，我们将得到：

T(n-1)= T(n-1-1)+1 => T(n-2)+1
//in continue
T(n)=[T(n-2)+1]+1 => T(n-2)+2
//and again
T(n)=[T(n-3)+2]+1 => T(n-3)+3
.
.
.
// if repeat it k times, while it ends
T(n)= T(n-k)+k

您看到它在每一步中都增加了1，如果我们进行k次，则T(n)= T(n-k)+k。现在，我们需要知道最小值（函数停止时，始终必须是停止点）。在此问题中，零是递归堆栈的结尾。正弦，我们假设我们走k次达到零，解决方案将是：

// if n-k is final step
n-k = 0 => n = k
// replace k with n
T(n)= T(n-n)+n => T(n)= T(0)+n;
// we know
T(0) = 1;
T(n) = 1+n => O(n)

大的O是n，这意味着这种递归算法在最坏的情况下运行了n次。