Question

如果我们有这样的代码（伪），这个递归调用的时间复杂度是多少？假设下面未说明的任何内容被视为固定时间。

a,b,c > 0

//some code above, then we get here 

for i = 0 to a
    recursive(i,b)

//code continues

FUNCTION recursive(i,b)
if b = 0
    return 0

for j = i+c to a
    recursive(j,b-1)
ENDFUNC

修改我主要是在确定它是否是指数时遇到问题。深度显然是b，并且在递归函数中进行调用，给出O（b * a），但是主循环也调用它一次，这使得我认为它应该总计：O（a ^ 2 * b），但是我不太明白如何产生指数复杂性，所以我想知道它是否会成为那样的呢？

Answer 1

首先，让我们先看看两个简单的嵌套循环：

for i (1..N) {
   for j (1..N) {
      f();
   }
}

for i (1..N) {
   for j (i..N) {
      g();
   }
}

f()被称为N*N = N² = O(N²)次。

g()被称为N+(N-1)+...+5+4+3+2+1 = N(N+1)/2 = N²/2 + N/2 = O(N²)次。

如您所见，内环开始的位置并不重要;复杂性将是相同的。

其次，让我们看看如果你添加一个嵌套级别会发生什么。

for i (1..N) {
   for j (1..N) {
      for k (1..N) {
          h();
      }
   }
}

我们已经知道两个外部循环是O(N²)，我们正在进行N次，所以我们得到O(N³)。我们可以看到指数是嵌套量。

如果我们开始展开recursive，我们就会

for i2 = i+c to a
    recursive(i2, b-1)

是

for i2 = i+c to a
   for i3 = i2+c to a
       recursive(i3, b-2)

是

for i2 = i+c to a
   for i3 = i2+c to a
       for i4 = i3+c to a
           recursive(i4, b-3)

等

如您所见，您有b个嵌套循环，它们遍历a-c个元素的子集。应用我们上面学到的知识，recursive需要O((a-c)^b)时间。

整个代码（即对recursive的调用加上外部循环）会添加另一个图层，因此需要O((a-c)^b * a)次。

递归算法的时间复杂度（伪代码）

1 个答案: