Question

我正在研究一种计算数字乘法逆的算法。我必须做一个功能来做到这一点。但是，我坚持优化。

我的算法有效，但只适用于相对较小的数字。

鉴于3个数字(a,b,n)，我需要返回a/b (mod n)。

这部分我能做到。但是，当n非常大时，我的代码变得非常慢，因为我正在以这种方式解决它：

for i in range(1,n):
    if b*i%n == a%n:
        return i

我的问题是n的大小。如果它变得很大，代码就不会运行。

现在，假设我的数字是3,2,7，我需要在不检查所有数字的情况下获得答案5。所以我尝试使用扩展的欧几里德算法。

这就是我所做的：

ax + by = 1
ax = 1 (mod n) => ax - 1 = qn, where q is an integer

我最终得到了等式：

ax - qn = 1

如果我总结我的数字，我最终得到：

3x + 7q = 1

我该如何解决这个问题？还有更好的方法吗？

Answer 1

你想要解决的是丢番图方程式

ax+by=1

其中所有数字都是整数。要解决这样的问题，您需要（如标题所示）扩展的欧几里德算法，该算法最好使用表格进行解释。首先，你做正常的欧几里德算法：

新的a由a-b*q计算，q是a/b的商。然后从底部开始向上计算从x=1 y=0开始计算x和y。在每个步骤中，新的x是旧的y，新的y是x _old -q * y _old。为了证明这一点（不幸的是我无法更好地格式化）：

a b q  x  y
3 7 0
7 3 2
3 1 3
1 0    1  0

a b q  x  y
3 7 0 -2  0 // 1-0*(-2)
7 3 2  1 -2 // 0-2*1
3 1 3  0  1 // 1-3*0
1 0    1  0

3*(-2)+7*1=1
3*(-2)=1 (mod 7) | +7
-2=5 (mod 7)

因此，当您填写表格或自己的实施时，您在x字段中得到了答案，即使在这种情况下它可能是负数，您也必须一次添加N.

扩展的欧几里德算法解决方案

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