请提供一个简单而简单的方法来分析union-find算法的时间复杂度。在这两个案例中 1.标准方法 2.加权联合启发式方法
我知道在标准版本中它的时间复杂度是： O（n ^ 2） 在加权联合启发式方法的情况下，它是： O（m + n logn）
但我没有得到，它是怎么来的。 假设：考虑有n个elemetns和Linked list数据结构，每个节点指向列表的头部，m = make set operations。
答案 0 :(得分：0)
首先是一些定义： m 是生成集操作的数量。 n 是联合/查找操作的总和。
标准版
假设join(a,b)使b成为a的根。
如果调用序列为 0.5n ，则调用joint(1,2)，joint(2,3)，joint(3,4)，您可以创建一个 0.5n的链 buttom中具有1的节点。然后find(1)将花费 0.5n 时间，因此调用 0.5n 次并且您的运行时将 0.25n ^ 2 = O（n ^ 2 ）
由于我们必须执行 m makeset操作，我们最终会得到O（m + n ^ 2）。
<强>加权联盟
我假设权重是集合的大小（而不是排名）。
对于给定的集合，让 h 为表示它的树的高度， w 的大小。 find在该集合中最多需要 h 时间。通过归纳，我们可以证明 h <= log（w）。
对于 w = 1 且 h = 0 的单个节点，该公式很容易保留。
现在考虑两个树 a 和 b 之间的连接，其中 a 成为新的根。假设 h＆lt; = log（w）适用于 a 和 b ，我们将显示它也适用于联合。我们知道 wa＆gt; = wb =＆gt; wab = wa + wb＆gt; = 2wb 。如果 a 严格高于 b ，我们有 hab = ha＆lt; = log（wa）＆lt; = log（wab）。否则（当 hb＆gt; = ha 时）我们有 hab = 1 + hb＆lt; = 1 + log（wb）= log（2wb）＆lt; = log（wab）
这证明 h＆lt; = log（w）成立。在较少的数学术语中，我们已经证明任何集合的高度小于其大小的对数，因此查找最多需要 O（log（k））时间，其中k是大小的集。
让 j 成为联合操作的数量。每个union触及2个元素，因此任何集合的最大大小都以 2j 为界。
union和finds的运行时因此是 O（j + k log（2j））= O（n + n log（2n））= O（n log（n））。我们必须再做 m makeset s，所以我们得到 O（m + n log（n））