在Union-Find结构中分析m个运算的时间复杂度

Question

任务是在“查找”和“联合”的Union-Find结构中找到m个操作的最坏情况下的时间复杂度，即所有“联合”操作都发生在所有“查找”操作之前。

联合查找结构以n个不相交的集合开始，每个集合包含一个元素。而且，每个集合都表示为一棵树，并且该结构使用路径压缩和逐级并集。

我在想的是，首先，所有联合操作将合计为O（log（n）），因为每个联合操作都取O（1），并且发生的此类操作最多为log（n）个。

此后，如果我们查看find元素，则对于每个元素，第一个查找将采用O（log（n）），但是下一次，它将对其路径中的每个元素采用O（1）。因此所需的时间少于O（m * log（n））。

我不确定如何从这里继续。我认为可能会这样：

log（n）+ log（n / 2）+ log（n / 4）+ .... = log（n）* log（n）

因为每次我们需要走的路径的级别变短。

但是。我不确定，也看不到在这里使用m参数。 也许在分析中还需要使用Ackerman逆函数，但我不知道怎么做。

Answer 1

“查找”操作（FindSet）

• 跟随指针从v到树的“根”以找到v的集合标识符
• 当递归调用返回集合标识符时，每个节点将其指针从其父节点更改为根节点，从而压缩树
• “查找”操作期间不会更新树的等级（树的高度上限）

“联合”操作

• 对于每个集合或“树”，维持一个等级，该等级是树的高度的上限
• 具有较小等级（较短树）的根指向具有较大等级（更矮树）的根
• 让树木“矮”
• 如果两棵树的等级相等，则选择一棵树指向另一棵树。然后将树的等级加1

时间复杂度

• 我们将执行O（E）“查找”和“联合”操作
• 我们执行V MakeSet操作
• “查找”，“联合”和MakeSet花费α（V）时间（阿克曼函数的倒数，增长非常缓慢）
• 这给了我们O（（V + E）α（V））
• | E | > = | V | -1，因此“联合查找”取O（Eα（V））
• α（V）在O（log V）中，而在O（log E）中
• 因此，Union-Find结构的时间复杂度为O（E log E）或O（E log V）