如何在O（n * log（n））时间内找到并打印n个给定圆的交点？

Question

我正在寻找O(n*logn)算法来查找和打印n个给定圈子的交叉点。每个圆圈由其中心和半径指定。

O（n ² ）算法在于检查中心之间的距离是否小于或等于半径的总和（被比较的两个圆的总和）。但是，我正在寻找一个更快的！

类似的问题是线段的交叉。我认为即使我的问题也可以使用line sweep algorithm来解决，但我无法弄清楚如何修改事件队列以防万一。

请注意以下角落情况。黑点表示事件点（根据用户Sneftel的解决方案，在箭头标记的圆圈下方不会打印）

Answer 1

线扫描算法只会在遇到左极值（即(x-r, y)）时将圆圈添加到列表中，并在遇到右极值时从列表中删除。在向列表中添加圆圈之前，请根据列表中已有的圆圈进行检查。因此，您的事件队列基本上是所有圆圈的左右极值，按x排序。 （请注意，您提前了解所有事件，因此在正常意义上它并非真正的“队列”。）

这也称为“扫除和修剪”。

Answer 2

这是我根据用户Sneftel算法的修改找到的正确解决方案，该算法并非适用于所有情况。

图1：用有界框表示每个圆圈 现在使用扫描线方法，将扫描线平行移动到y轴，我们需要两个线段来表示每个圆的y范围，如图2所示。

完成后，问题将减少到以下几点：

这里有2个线段代表一个圆圈 扫描线状态可以保持为任何平衡的动态数据结构，如AVL树，跳过列表，红黑树，其插入/更新/删除/检索时间最多为O（logn）。 在这种情况下的比较函数将检查对应于相邻线段的两个圆是否相交（代替检查线段如在原始线扫描方法中相交以找出线段交叉点）。这可以在O（1）时间内完成，因为需要恒定的操作量 事件点数：4n（对于n个圆= = 2n个线段=＆gt; 4n个端点）
复杂度= O（4nlog（4n））= O（nlogn）