计算O（（n + s）log n）中的圆交点

Question

我试图弄清楚如何设计一个能够以O（（n + s）log n）复杂度完成此任务的算法。是交叉点的数量。我试过在互联网上搜索，却找不到东西。

无论如何，我意识到拥有良好的数据结构是关键。我在java：TreeMap中使用Red Black Tree实现。我还使用着名的（？）扫描线算法来帮助我处理我的问题。

让我先解释一下我的设置。

我有一个调度程序。这是一个PriorityQueue，我的圈子根据最左边的坐标排序（升序）。 scheduler.next()基本上轮询PriorityQueue，返回下一个最左边的圆圈。

public Circle next()
{ return this.pq.poll();    }

我这里还有一个包含4n个事件点的数组。授予每个圆圈有2个事件点：大多数左x和最右x。调度程序有一个方法sweepline（）来获取下一个事件点。

public Double sweepline()
{ return this.schedule[pointer++];    }

我也有状态。扫描线状态更精确。根据该理论，状态包含有资格相互比较的圆圈。在整个故事中拥有扫描线的关键在于你能够排除很多候选人，因为他们根本不在当前圈子的半径范围内。

我使用TreeMap<Double, Circle>实施了状态。双倍为circle.getMostLeftCoord().

此TreeMap保证插入/删除/查找O（log n）。

算法本身的实现如下：

Double sweepLine = scheduler.sweepline();
Circle c = null;
while (notDone){
    while((!scheduler.isEmpty()) && (c = scheduler.next()).getMostLeftCoord() >= sweepLine)
        status.add(c);


    /*
     * Delete the oldest circles that the sweepline has left behind
     */
    while(status.oldestCircle().getMostRightCoord() < sweepLine)
        status.deleteOldest();

    Circle otherCircle;
    for(Map.Entry<Double, Circle> entry: status.keys()){
        otherCircle = entry.getValue();
        if(!c.equals(otherCircle)){
            Intersection[] is = Solver.findIntersection(c, otherCircle);
            if(is != null)
                for(Intersection intersection: is)
                    intersections.add(intersection);
        }
    }

    sweepLine = scheduler.sweepline();
}

编辑：Solver.findIntersection(c, otherCircle);返回最多2个交叉点。重叠的圆圈不被认为有任何交叉点。

SweepLineStatus的代码

public class BetterSweepLineStatus {

TreeMap<Double, Circle> status = new TreeMap<Double, Circle>();

public void add(Circle c)
{ this.status.put(c.getMostLeftCoord(), c);     }

public void deleteOldest()
{ this.status.remove(status.firstKey());    }

public TreeMap<Double, Circle> circles()
{ return this.status;       }

public Set<Entry<Double, Circle>> keys()
{ return this.status.entrySet();    }

public Circle oldestCircle()
{ return this.status.get(this.status.firstKey());   }

我测试了我的程序，我显然有O（n ^ 2）的复杂性。 我在这里错过了什么？你们可能提供的任何意见都非常受欢迎。

提前致谢！

Answer 1

您无法在n时间内找到平面中O(n log n)个圆圈的所有交点，因为每对圆圈最多可以有两个不同的交点，因此n个圆圈可以有最多n² - n个不同的交叉点，因此无法在O(n log n)时间内枚举它们。

获得n² - n交叉点最大数量的一种方法是将n个等半径r的圆心放置在长度为{{1}的相互不同的点上}}

Answer 2

具有相同中心和半径的N个圆将具有N（N-1）/ 2对交叉圆，而通过使用足够大的圆使得它们的边界几乎是直线，您可以绘制具有N / 2条线的网格N / 2行中的每一行相交，也是N ^ 2。我会看一下，当你添加一个新的圆圈时，你的地图中通常会有多少条目。

您可以尝试为圆圈使用边界正方形并在待处理的正方形上保留索引，以便只能找到与查询正方形相交的y坐标的正方形（假设扫描线与y轴平行） ）。这意味着 - 如果您的数据是友好的，您可以保留许多待处理的正方形，并且只检查其中的一些正方形中圆圈的可能交叉点。数据不友好，导致真正的N ^ 2交叉点总是会出现问题。

Answer 3

圆圈与整个区域相比有多大？如果比例足够小，我会考虑将它们放入某种水桶中。它会使复杂性比O(n log n)复杂一点，但应该更快。