最小生成图 - 负权重和正权重

Question

我无法理解MST是否会成为一棵树。

假设给定一个图G =（V，E），连接V中所有顶点并具有最小总权重的边T 1 E的任何子集必须是树，或者它可以是其他子图时 - 某些边缘可能具有负重量。 - 所有边缘都有正重。

我认为对于某些可能具有负权重的边，它必须是树，而对于所有边具有正权重的边，它可以是其他一些子图。

如果我是对还是错，请帮助我。

如果它必须是一棵树，你能否解释连通性和极简性的矛盾。但如果您认为它可能是其他子图，那么您能否向我展示一个示例，其中可能不是树的连通图具有较低的权重。

Answer 1

如果您有负权重，则无法保证最小生成子图是树。考虑3个顶点的完整图表，所有边都重-1。

编辑稍微误解了您的问题：

如果您有负重：它可能不是树

所有权重都是非负的（＆gt; = 0）：有一个最小生成树，但可能有另一个，它不是一棵树，并且具有相同的权重总和。

所有权重均为正（> 0）：这是一棵树。

Answer 2

最小生成树/林（MST / F）和最小生成图（MSG）之间存在差异。

最小生成图（MSG）：连接图G的所有连接组件中的所有节点，从而降低总体成本。

对于非负成本，MSF等于MSG。

e.g。图G为三角形，每条边的成本为1。 MSG将通过2个边连接3个顶点。这与使用Kruskal，Prim或Boruvka算法计算G得到的MSF相同。

对于负成本，MSF可能与相应的MSG不相等，而且MSG也不总是MSF。

e.g。图G为三角形，每条边的成本为-1。 MSG将利用每一个优势，因为它将降低总体成本。因此你会得到一个循环。根据定义，树木或森林不包含周期。 由于积极成本，您将永远无法在MSG中获得循环，因为添加边缘会产生循环，这将总是会增加MSG的总体成本。 用Kruskal，Prim或Boruvka计算G将返回无国界医生。

Answer 3

一些事实应该足以回答你的问题：

1. 如果T是连接所有顶点的边的子集，则T不是 必然是一棵树。
2. 如果T是连接所有边的边的子集 顶点和T最小化权重之和，然后我们知道：
   • T不一定是唯一的。
   • T始终包含形成树的边的子集。 （ “连通”）
   • 如果所有权重都是严格正数，则T是树。 （ “极小”）
3. 使用最小权重总和找到一些T就像找到MST一样简单：
   • 找一些MST（例如使用Kruskal或Prim的算法）。
   • 添加负重的所有边缘。

最小化权重的子集T的一个简单例子是图G =（V，E），其中所有边的权重为-1，则T为E.