嵌套的for循环复杂性

Question

每个案例（a-d）的增长函数是什么？
我很难找到每个嵌套for循环的运行时间。我想我找到了其中一些，但我不确定。

A）

for(i = 1; i*i <= N; i = 2*i);

b）中

for(i = 1; i <= N; i = 2*i);
    for(j = 1; j <= i; j = j+1);

c）中

for(i = 1; i*i <= N; i=i+1);
    for(j=1; j <= i ; j=j+1);

d）

for(i = 1; i*i <= N; i=i+1)
    for(j = 1; j <= i ; j = 2*j);

Answer 1

这就是我得到的：

<强>生长

1. O(log(sqrt(N)))
2. O(N)
3. O(N)
4. O(log(sqrt(N)!)) = O(sqrt(N)*log(sqrt(N)))使用Stirling's approximation

确切数字（[X]是X的整数部分）

1. [log([sqrt(N)])]+1
2. 2^([log(N)]+1)
3. [sqrt(N)]*[sqrt(N)+1]/2
4. 不太确定。

这里有一点检查：我用计数器实现了for循环，这是N=10000000的输出：

a(N)= 12           a(10*N)= 14
b(N)= 16777216     b(10*N)= 134217728
c(N)= 5000703      c(10*N)= 50005000
d(N)= 33861        d(10*N)= 123631

编辑：根据要求，解释
首先，考虑一下：

• 我们正在处理整数，所以你看到的任何实际函数（基本上都是sqrt和log）你应该实际取整数部分。
• 几乎总是在计算机科学中，log = log base 2

现在：

1. i从1变为sqrt(N)，但它仅使用“2”的幂。在1之间有log(M)（实际上+1）2的幂和M，所以用M = sqrt(N)得到公式。

2. i从1到N的权力为2，与之前一样。对于每个i，都有i个js。如果我们将每个i的js相加：
   1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2^log(N) = 2N - 1 = O(N)

3. i从1转到sqrt(N)。对于每个i，都有i个js。和以前一样，我们总结每个i的js数​​量：
   1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + sqrt(N) = sqrt(N) * sqrt(N+1) / 2 = O(N)

4. i从1转到sqrt(N)。对于每i j，1仅使用2的幂，从i到i，因此对于每个log(i)，您有log(1) + log(2) + log(3) + log(4) + log(5) + ... + log(sqrt(N))个js。如果你把每一个j的总和加起来：

   log(a) + log(b) = log(a*b)
   对于对数log(1*2*3*4*5*..*sqrt(N)) = log( sqrt(N)! )的属性。将此应用于我们的总和：
   ln(N!) -> N*log(N) - N
   这是结果。鉴于阶乘是大数的问题，你可以使用斯特林的近似值：log(N)来表示大数。

使用整数部分的差异示例

考虑2. N的整数部分保持不变，直到for加倍。这意味着，例如，此131072周期为N=65536和N = 131071执行相同数量的操作（N）。当131072变为262144（仅一个）时，操作次数加倍（{{1}}）。

Answer 2

您可以使用Sigma Notation正式解决代码片段：

<强> A）

<强> b）中

<强> c）中

<强> d）