无论a和b如何，都显示log n + bn = O（n log n）

Question

我需要帮助理解Big-O问题。我已经得到了这个概念并且已经做了一些练习问题，但这个让我感到难过。

使用大O的定义，表明f(n)=anlogn+bn是O(nlogn). (a, b > 0)

我不知道如何找到C或N，因为如果常数A或B改变，那么C和N也必须改变？或者我是以错误的方式看待这个？

我有一个测试，我想事先了解这一点。

谢谢！

Answer 1

当你收到像这样的声明时：

  

证明log n + bn = O（n log n）

您可以将其视为以下内容：

  

对于a和b的任何选择，证明log n + bn = O（n log n）

反过来意味着

  

对于a和b的任何选择，可以选择c和n ₀ ，这样对于任何n≥n ₀

换句话说，你首先选择a和b，然后显示log n + bn = O（n log n）。你不是试图证明有一个固定的c和n ₀ 在big-O符号的定义中起作用而不管a和b，但是应该表明无论有人如何选择a和b，你总能找到ac和n ₀ - 这可能取决于a和b - 这样使用c的那些选项的log n + bn = O（n log n）和n ₀ 。

为了看看你在这个例子中是怎么做的，一个可能有用的观察是（假设我们的日志是基数为2），1≤logn只要n≥2。因此，只要我们限制如果n≥2，我们就得到了

  

log n +bn≤logn + bn log n =（a + b）n log n

鉴于此，你看到你如何选择c和n ₀ ？我们限制n使得n≥2，所以选择n ₀ = 2是有意义的。同样，因为我们刚刚证明了log n +bn≤（a + b）n log n，我们可以选择c = a + b。

您可以将此论点视为两个人之间的对话：

• 其他人：我要选a和b，但我不会告诉你它们是什么。
• 你：嗯，好的。
• 其他人：所以我向我证明，当n≥n _{0时，有一个n 0 和c，这样log n +bn≤cnlog n}
• 你：当然可以！尝试选择c = a + b和n ₀ = 2.这有用吗？
• 其他人：嘿，你说得对！这确实有效！

请注意，对话框从另一方选择a和b开始。这样，您可以定制您选择的c和n ₀ 以确保声明成立。如果你先尝试选择c和n ₀ ，他们总能找到一个会破坏它的a和b。

希望这有帮助！

Answer 2

由于A和B是常量，因此可以用C和N来表达A和B。例如，您可能会证明C=A+B和N > 2A足以证明f(n) = O(n lg n)。

Answer 3

也许我错过了一些东西，但这似乎不是Big-O的典型用法。您的函数是一个简单的数学函数，而不是算法。如果：

f(n)=anlog(n)+bn

然后复杂度是（anlog（n））和（bn）的复杂度，假设plus运算具有可忽略的复杂性。由于b是常数，（bn）是O（n），同样a是常数，（anlog（n））是O（nlog（n））。