O（log（A + B））= O（log（A * B））？

Question

如标题所示，这个等式是真的吗？

O(log(A+B)) = O(log(A*B))

两个函数或多或少相似（两个函数都没有比另一个快得多）所以我想我们可以写得像：

O(log(A+B)) ≈ O(log(A*B))

但是，为了使它完全相等，这两个函数不需要具有完全相同的渐近增长吗？

Answer 1

是的，你确实是对的。这是因为我们有以下不等式（足够大的A和B）：

log(A+B) ≤ log(A*B)

和

log(A*B) = log(A) + log(B) ≤ log(A + B) + log(A + B) = 2 * log(A + B)

注：

在这里使用big-O表示法并不正确，你正在处理log(A+B)和log(A*B)之间的紧密界限，所以你应该使用big-Theta表示法：

log(A + B) = Θ(log(A * B))

Answer 2

只做一个比例

r = log(A + B) / log(A * B) = log(A + B) / (log(A) + log(B))

如果A和B都接近无穷大，则此表达式具有有限的正限制：

1）如果A / B <1。 1然后

log(A)/(2 * log(A)) <  r < (log(A) + log(2)) / log(A)
1/2 < r < 1 + log(2)/log(A)

2）用B代替A代替B / A＆lt; 1

3）A == B是微不足道的

所以复杂性是一样的。