知道这三点后如何找到三角形内的任何一点？

Question

说我有一个三维的三角形，我知道每个点的坐标（x，y，z） - 我怎样才能找到位于这个三角形内的任何点？说我知道我想要的点的x和y，我怎么能找到Z？

编辑：alfasin的答案最接近解决方案 - 我用三点构建平面方程

a（x-x0）+ b（y-y0）+ c（z-z0）= 0

其中（a，b，c）是法线向量并插入我的值并为Z求解。感谢大家的帮助。

Answer 1

如果你的三角形由三个点T1，T2，T3和你想要找到的点组成P，你可以在线之间做一个交叉乘积：

（T1，T2）x（T1，P）= R1

（T2，T3）×（T2，P）= R2

（T3，T1）×（T3，P）= R3

如果结果线R1，R2，R3是平行的，那么我会假设该点在三角形内。有人可以验证/反驳这个吗？

[编辑]：这是一个查找行是否平行的资源：https://math.stackexchange.com/questions/194242/decide-whether-two-lines-are-parallel

但问题的第二部分意味着你试图让一个点适合三角形？它是否正确？请原谅缺乏评论 - 我目前没有SO信誉。

Answer 2

通过将3点应用于以下内容，您可以找到表示曲面的方程式：

ax+by+cz+d = 0 

找到a，b和c之后你就有了表面 - 所以首先要检查点P是否在表面上。如果是，我们仍然需要检查它是否在三角形上。

为此，我们将创建一条对角线，通过P，到每一条边，或者更确切地说，是“包括”边缘的线性方程式（请原谅我可怜的英语 - 我学会了用我的母语这个东西所以请耐心等待。

这可以通过每对点（来自三角形）来完成，比如A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)并将它们分配给第一个等式。我们将得到一个线性方程：

y = mx + n。

此处m是incline - 所以对角线方程式

m' = -1/m

由于我们知道P的值，因此我们可以使用它们来查找n的值。 现在我们有两个方程，我们可以找到两条线上存在的点。我们称之为P'。

如果P'介于A和B之间，则很容易找到。如果是（对于每一对！） - 那么P在三角形内部，否则，它不是。

实施例：