Question

我最近学会了通过矩阵求幂找出第n个数的斐波那契数。但我被困在两个关系中：

1) F(n) = F(n−1) + n            
2) F(n) = F(n−1) + 1/n

有没有有效的方法来解决这些问题 O（LOGN）像我们有矩阵博览会的时间。对于斐波那契系列？

Answer 1

第一个显然等于：

F(n) = F(0) + n*(n+1)/2

并且可以在O（1）时间内计算。对于第二个，请查看here。

假设您想要使用矩阵求幂计算第一个，就像使用Fibonacci系列一样，这里是您应该使用的矩阵：

    | 1 1 0 |
A = | 0 1 1 |
    | 0 0 1 |

如果你想到以下等式，矩阵的选择是显而易见的：

| F(n+1) |   | 1 1 0 |   | F(n) |
|  n+1   | = | 0 1 1 | * |  n   |
|   1    |   | 0 0 1 |   |  1   |

当然，起始向量必须是：(F(0), 0, 1)。

对于第二个系列，这并不容易，因为您希望逐渐计算值1/n，这不能以这种方式线性计算。我想这不可能，但我不会试图证明它。

Answer 2

第一个可以在O(1)中计算，因为这是一个算术级数，总和是n*(n-1)/2。

第二个是harmonic series，无法有效计算，但您可以在O(1)中使用以下内容进行近似计算：

其中第一个是0.57721566490153286060，第二个是大约1/(2k)