通过简单的操作提供算法O（n ^ 3 log n）？

Question

提供算法计算性能O（n ³ log n）。该算法应该只包含简单的操作。

如何解决这个问题？...我正在攻读计算机科学GRE。谢谢！

Answer 1

执行此操作的一种方法是编写一个运行O（n ³ ）次的外循环和一个运行O（log n）次的内循环：

for (int i = 0; i < n * n * n; i++) {
   for (int j = 1; j <= n; j *= 2) {
       // ... do nothing ... //
   }
}

请注意，内循环运行log n次，因为循环k次迭代后j的值为2 ^k ，并且一旦k≥lgn，我们将有j = 2 ^k ≥n。

另一种选择是编写一个递归函数，其运行时通过Master Theorem计算出O（n ³ log n）。一种方法是使一个函数对大小为n / 2的子问题进行8次递归调用，并且每次调用都可以使用Θ（n ³ ）：

void silly(int n) {
    if (n > 0) {
        for (int i = 0; i < n * n * n; i++) {
            // ... waste time ... //
        }
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            silly(n / 2);
        }
    }
}

编辑：正如@Nuclearman所指出的，您还可以通过对大小为n ^{3的数组进行排序来获得运行时O（n 3 log n）}使用像quicksort或heapsort这样的算法。更一般地，在大小为n ³ 的输入上运行其运行时为O（n log n）的任何算法产生O的运行时间（n ³ log n）。这使用了log（n ³ ）= 3 log n = O（log n）的事实。

希望这有帮助！