递归运行GCD函数的时间（Euclid算法）

Question

我只能找到关于如何递归和迭代地实现gcd函数的帖子，但是我找不到这个。我确信它在Stackoverflow上然而我找不到它所以我道歉如果它是一个重复的帖子。

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我查看了维基百科（here）的分析，无法理解它们的递归关系。

考虑以下在C中递归实现的GCD函数的实现。它具有一个前提条件，即两个数字必须为正，但与运行时无关。

int gcd( int const a, int const b ) {
  // Checks pre conditions.
  assert( a >= 0 );
  assert( b >= 0 );

  if ( a < b ) return gcd( b, a );

  if ( b == 0 ) return a;

  return gcd( b, a % b );
}

对运行时间进行分析我发现每个操作都是O（1），因此我们知道到目前为止的递归关系是：T（n）= O（1）+ ???。现在分析递归调用，我不知道如何将（mod b）解释为我的递归调用以正确陈述我的递归关系。

Answer 1

在每个递归步骤中，gcd将其中一个参数减半（最多）。要看到这一点，请看这两种情况：

如果b >= a/2然后在下一步，您将拥有a' = b和b' < a/2，因为%操作将从{{1}移除b或更多}}

如果a然后在下一步，您将拥有b < a/2和a' = b，因为b' < a/2操作最多可以返回%。

因此，在每个递归步骤中，b - 1将其中一个参数减半（最多）。这是O（log（N））步骤，其中N是初始gcd和a的最大值。

Answer 2

要分析欧几里德GCD，你应该使用斐波纳契对：gcd（Fib [n]，Fib [n - 1]） - 最坏的情况。

如果您测试上面的Euclidean GCD，那么最终会有24个递归调用。

如果您习惯于解决复发关系，您可能会对以下内容感兴趣：

通过这项研究，我们无法推断出任何被除数/除数对的精确迭代次数（因此是小的Oh表示法），但它保证了这个上限是有效的。 通常，下限是Omega（1）（例如，当除数 1 时）。

Answer 3

一个简单的分析和证据如下：

1. 如果Euclid(a,b)步数超过N，则显示 a>=F(n+1)和b>=F(n)，其中F(i)是i斐波那契 数。
   这可以通过Induction轻松完成。

2. 再次显示F(n)≥φ ^n-1     诱导。

3. 使用步骤1和2的结果，我们有b≥F(n)≥     φ ^n-1
   以两侧的对数为准，     log _φb≥n-1。
   
   因此证明，n≤1+     日志<子>φ B'/ p>

这可以改善这种界限 EUCLID(ka,kb)中的递归调用次数与EUCLID(a,b)中的递归调用次数相同，其中k是一个整数。

因此，边界被改进为1 + log _φ（b / gcd（a，b））。