二分图和均匀长度的循环

Question

二分图是一个图，其顶点可以分为两个不相交的集U和V，这样每个边连接U中的一个顶点到V中的一个顶点;也就是说，U和V都是独立的集合。等效地，二分图是不包含任何奇数周期的图。

我是否也可以说如果在图表G中所有周期都是长度，那么它是二分的？

我想到了一个均匀长度周期的图表，结果证明它是非二分的。

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Answer 1

如果在图表G中所有周期都是长度，则它是二分的。

将BFS算法应用于图G.它将G的顶点划分为多个层。集合U由奇数层的顶点，偶数层的顶点的V组成。让我们假设（通过矛盾）存在连接来自U的两个顶点 x，y 的边 e 。让 r 成为树的根由BFS算法确定。然后从 x 到 r ，从 r 到 y 和edge e 的路径是奇数长度的循环 - 这是矛盾的，因为图G不包含奇数长度的循环。 （与第V组相同）。