二分图的边权重

Question

我很难理解某些逻辑。我有一个双分图如下。

我希望找到左侧所有顶点的最佳匹配（Viz，A1，A2，A3，A4）。我得到了朋友的建议，边缘重量的总和可以用来解决这个问题。但是，我不确定，在这种情况下边缘重量的总和将如何帮助。例如，对于A1，我可以说AL2是最佳匹配，依此类推。但是，我的朋友建议边缘权重是解决这个问题的最佳解决方案。我无法理解它如何成为最佳解决方案。他的想法是，所有（A1，A2，A3，A4）将连接到所有（AL1，AL2，..，AL6），并且对于每个边缘，我们将计算边缘权重的总和。有人可以帮我理解他的实际含义吗？

编辑：我认为这可能不是二分图中完美匹配的情况，因为左侧的节点应该等于右侧的节点。

Answer 1

使用max-flow算法可以在多项式时间内有效地计算maximum weighted bipartite matching，这是线性程序的特例。二分匹配，最大流和线性程序之间存在多种关系，但Hopkroft-Karp algorithm是解决此特定问题的算法的最简洁表达。

Maximum matchings for non-bipartite graphs也可以有效计算。

（以上所有算法都有加权版本。）

编辑：您的评论中不清楚您的问题是否略有不同。如果从左到右可以存在一对多映射，但是右节点只能映射到一个左节点，则有效地存在最大流问题，其中左节点具有无限容量流入而右节点具有流出量一个。有关不同的解决方法，请咨询max-flow algorithms。