在Ford-Fulkerson之后只改变一条优势，增加流量

Question

假设我在图G =（V，E）上运行Ford-Fulkerson算法，结果是最大流量f _max ，这与最小切割相关联XMIN。我有兴趣通过增加图中任何一个边缘的容量来尽可能地增加流量。我如何识别这个边缘？

一种策略可能是：给定初始顶点 s 和最终顶点 t ，考虑从 s 到 t 并验证容量较低的边缘。例如，如果我有1/1的边，这是我必须增加容量的顶点。

是否有解决此问题的通用算法？

Answer 1

一旦找到了图表中的最大流量，增加边缘容量（u，v）只会增加最大流量，如果从s到u以及从v到t的正容量路径残差图。如果不是这种情况，则在增加后残差图中不会有增量路径，因此最大流量将保持最大值。

在具有此属性的边（u，v）中，在增加（u，v）的容量之后，可以从s推到t的最大额外流量将是有界的。如果你可以推动任何流过这条边，你必须通过找到从s到u的路径和从v到t的路径来实现。这样做时，两条路径中的每条路径都会出现瓶颈边缘，并且流量不会增加超过此值。因此，解决问题的一个选择是执行以下操作：

• 找到从s到其他节点的最大瓶颈路径，该路径可以从残差图中的s到达。
• 在残差图中找到每个节点可以达到t到t的最大瓶颈路径。
• 对于穿过路径的每条边（u，v），可以通过边缘推动的最大额外流量由s到u的最大瓶颈路径的最小值和最大瓶颈路径给出v to t。

换句话说，如果你可以计算图中的最大瓶颈路径，你可以找到应该在时间O（B（m，n）+ m）增加的边，其中B（m，n）是计算图中最大瓶颈路径的成本。

幸运的是，这是一个经过充分研究的问题，可以使用Dijkstra算法的变体来解决，而不是存储每个节点的最低成本路径，而是存储每个节点的最大瓶颈路径。快速谷歌搜索应该提供一些额外的信息。使用Fibonacci堆，您可以在时间O（m + n log n）中实现此搜索，因此用于识别容量应该增加的边缘的总运行时间也应该是O（m + n log n）。

希望这有帮助！