向图表添加新边缘并查找新生成树

Question

假设给出了给定图G的最小生成树T（具有n个顶点和m个边）以及我们将添加到G的权重w的新边e =（u，v）。

I）检查T是否仍然是MST。 II）如果没有，给出一个有效的算法来找到图G + e的最小生成树。

Answer 1

您当前的MST T包含n-1个边缘。在权重e = (u,v)的新边w的图表中添加完全在图C中T + e T e }添加了边w）。如果新边缘权重（C）小于此周期e中权重最大边缘的权重，则可以通过用{{替换更高权重边缘来创建权重较低的MST 1}}。否则，您当前的MST仍然是最佳的。

算法基本上是这样的：

1. 在P
中找到u到v的唯一路径T
2. 找到e*中具有最大权重P
的边w*
3. w < w*？
   • 如果是，那么T' = T - e* + e是G + e的MST，weight(T') = weight(T) - w* + w
   • 如果没有，则T' = T是G + e
   的MST