Bellman-Ford算法的差分约束

Question

假设我们想使用Bellman-Ford来最小化max_i x_i - min_i x_i

通过变量x_1，x_2，... x_n（变量的总数n）

受x形式的m个约束约束 - x_j＆lt; = c_ {i，j}

其中c_ {i，j}是指定的常量，可以是负数。

如何证明Bellman-Ford可用于在O（n * m）时间内解决此类问题？

我尝试了以下内容：

为每个变量x_i

创建一个节点i

制作源节点

从s到所有其他节点创建0权重边缘

不确定在此之后该怎么做...请帮助，谢谢。

Answer 1

这是我的方法，但我不认为它是O（m * n），但它可能会指导你朝着正确的方向前进。一个好的尝试是绘制图片，假设我们有以下约束：

相应的约束图如下所示：

现在请注意，在您的情况下，您有一整套约束，因此约束图将是一个完整的图形。我们现在将从您的问题中考虑图表中的路径。现在考虑一个从x_i开始，到x_j结束的路径。这通过点x_i1，x_i2 ......，x_ik。所以我们的路径是{x_i，x_i1，...，x_ik，x_j}。由于设置不等式的方式，这条路径为我们提供了一个新约束（x_i - x_i1）+（x_i1 - x_i2）+ ... +（x_ik - x_j）= x_i - x_j。

这里发生的事情即使我们有一个约束x_i - x_j＆lt; = c [i，j]，我们可以通过采用其他约束的线性组合来找到对x_i和x_j的更严格的约束，这些约束由路径表示这个完整的图表。

因此修复任何顶点x_i并找到其最严格的约束，即Bellman ford指向任何其他顶点的最短路径。然后为所有我做这个，并采取最低限度。

Answer 2

一般情况下，您不能使用bellman-ford算法来解决此问题。 anil的答案提到的一个反例（在此页面上）。在他的答案中提到的图表中，我们有一个负圆圈（doTry()）：sum of weights = -1，因此我们不能将Bellman-ford算法用于此类图形和问题。