如果我们可以在运行Bellman Ford算法后再次放松边缘，那么为什么存在负循环

Question

我们知道Bellman Ford是一种找到负循环的算法。 以下是Bellman Ford的算法 输入：给定图G（V，E）和w（e）是权重 输出：如果存在负循环，则返回Yes。

1: set d(s) = 0 and d(v) = 1 for all v (- s
2: for i = 1 ... n-1 do
3:      for every edge (u, v) in G do
4:        if d(v) > d(u) + w(u,v) then
5:           d(v) = d(u) + w(u,v)
6:      end for
7: end for
8: for every edge (u, v) in G do
9:     if d(v) > d(u) + w(u, v) then
10:       return True
11:return False

第8行 - 第11行是做一次放松以检测负循环，但为什么这些行保证检测到负循环，如果图中有一个？

Answer 1

您正在检测这样一个事实：某些顶点之间的最短路径太长，以至于它必须多次访问某个顶点，因此它包含一个循环。如果该周期的长度> = 0，那么移除它将最多保持路径的长度相同，因此不会发现它是一种改进。因此，如果您发现其中有一个循环的最短路径，则循环必须为负长度。此外，如果存在负长度的循环，则会发现它是从其中任何顶点返回到同一顶点的最短路径。