Question

每个项目都有三个属性

项目S _i
项目V _i
将项目添加到背包中的最小值M _i（＆lt; = 10 ⁷）

这将是最多100项。

我们给出了背包K（K <= 1000）的大小和初始值V（在背包中没有空间）。
一个项目＆＃39; i＆＃39;当且仅当M _i小于或等于V时才能放入背包。
在背包中添加项目后V增加V _i 。
我们必须最大化放入给定尺寸背包的物品数量（而不是价值）。

我发现this question类似。但答案中描述的算法是立方时间，这对于这个问题来说不够快。我们如何以更好的方式解决这个问题？

Answer 1

我可以在这里给出一个O（n ^ 3）算法。我不知道这个问题是否可以进一步优化为O（n ^ 2）。

首先，这个问题是如果项目数量最大化，这与其他背包问题有点不同。同时，它还有一个限制，即当背包的总值大于其自身值时，只能选择单个项目。因此，一个明显的推论是，在选择相同数量的项目并确定总大小的情况下，总值应该尽可能大（以便可以将更多项目添加到背包中）。

请注意，项目数n（＆lt; = 100）和背包K的大小（＆lt; = 1000）不是很大，让f [i] [j]表示选择i项目时的最大值总大小j。最初，除f [0] [0] = V外，所有f [i] [j]都设置为0。

然后根据添加所需的最小值对项目进行排序。这是一种贪婪的想法，因为在排序之后，我们只能查看每个项目一次。

DP方法如下所示：

for (int k=0;k<n;k++) //iterate items
    for (int i=n;i>=0;i--)
        for (int j=K;j>=0;j--) if (item.M[k]<=f[i][j])
            f[i+1][j+item.S[k]]=max(f[i+1][j+item.S[k]],f[i][j]+item.V[k]);

最终答案（最大项目数）是：

for (int i=n;i>=0;i--)
    for (int j=0;j<=K;j++)
        if (f[i][j]) return i;

解决每个项目具有“最小值”约束的背包概率

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