T（n）= T（n-1）+ 1 / n的渐近复杂度

Question

有一种算法具有时间复杂度

    T(n)=T(n-1)+1/n if n>1
        =1          otherwise

我正在解决它的渐近复杂性，并将命令作为'n'，但给出的答案是'log n'。这是对的吗？如果是log n，那么为什么？

Answer 1

可以很容易地看出（或通过归纳正式证明）T（n）是从1到n的k值的1 / k之和。这是 n harmonic number，H _n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1 / n。

渐近地，谐波数以log（n）的顺序增长。这是因为总和的值接近于从1到n的1 / x的积分值，它等于n的自然对数。实际上，H _n = ln（n）+γ+ O（1 / n）其中γ是常数。由此，很容易证明T（n）=Θ（log（n））。

Answer 2

更多详情：

使用H(N) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N

函数x :-> 1/x是递减函数，所以：

我们从左侧部分的1 to N求和，并从2 to N求和，我们加1，得到：

然后我们计算左右部分：ln(N+1) <= H(N) <= 1 + ln(N)

这意味着H(N)/ln(N) -> 1因此H(N)=Θ(log(N))

（来自http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_harmonique#.C3.89quivalent_de_Hn）