Question

我很多次遇到过这个问题，但我无法解决。会出现一些情况或其他会错误回答的情况，否则我写的程序会太慢。我正式谈论计算

nCk mod p其中p是素数n是一个大数，1＆lt; = k＆lt; = n。

我尝试了什么：

我知道factorial的递归公式，然后将其建模为动态编程问题，但我觉得它很慢。递归公式为(nCk) + (nCk-1) = (n+1Ck)。我在数组中存储值时处理模数以避免溢出，但我不确定只对结果执行mod p将避免所有溢出，因为可能需要删除它。

Answer 1

不确定“在数组中存储值”是什么意思，但我认为它们在运行时用作查找表以避免冗余计算以加快速度。这应该解决速度问题。关于溢出 - 您可以在计算的任何阶段执行模运算，并根据需要重复它 - 结果将是正确的。

Answer 2

首先，让我们使用p相对较小的情况。取n和k的base-p展开：写n = n_0 + n_1 p + n_2 p ^ 2 + ... + n_m p ^ m和k = k_0 + k_1 p + ... + k_m p ^ m其中每个n_i和每个k_i至少为0但小于p。一个定理（我认为是由于Edouard Lucas）说明C（n，k）= C（n_0，k_0）* C（n_1，k_1）* ... * C（n_m，k_m）。这减少了在下面的“n相对较小”的情况下采用数字的mod-p乘积。

其次，如果n相对较小，您可以使用公式C（n，k）= C（n-1，k-1）+ C（n-1，k）上的动态编程来计算二项式系数，在每一步减少mod p。或者做一些更聪明的事。

第三，如果k相对较小（并且小于p），你应该能够通过计算n！/（n-k）来计算n！/（k！（n-k）！）mod p！如n *（n-1）* ... *（n-k + 1），在每个乘积之后减去模p，然后乘以1和k之间的每个数的模数逆。

Answer 3

要计算nCr，有一个基于规则nCr = (n - 1)C(r - 1) * n / r的简单算法：

def nCr(n,r):
  if r == 0:
    return 1
  return n * nCr(n - 1, r - 1) // r

现在在模运算中我们没有完全除法，但我们有模数逆（当用素数修改时）同样好

def nCrModP(n, r, p):
  if r == 0:
    return 1
  return n * nCrModP(n - 1, r - 1) * modinv(r, p) % p

这是rosettacode

上的一个implementation of modinv

有效地计算nCk mod p

3 个答案: