有效地计算双积分

Question

我使用scipy计算跟随积分：

from scipy.stats import norm
def integrand(y, x):
    # print "y: %s  x: %s" % (y,x)
    return (du(y)*measurment_outcome_belief(x, 3)(y))*fv_belief(item.mean, item.var)(x)
    return dblquad(
        integrand, norm.ppf(0.001, item.mean, item.var), 
        norm.ppf(0.999, item.mean, item.var),
        lambda x: norm.ppf(0.001, x, 3), 
        lambda x: norm.ppf(0.999, x, 3))[0]

我有项目（正态分布）的信念状态和以项目的实际价值为条件的测量。（也是正态分布） 使用此积分i计算信息的值（测量此项目的有用程度）。

计算此积分需要花费大量时间的问题。 是否有更有效的方法来计算它（我不需要100％的精度），如monte carlo整合或类似的东西？

我知道在python中有skmonaco库用于monte carlo积分，但积分的限制必须是数字，不像scipy，内部积分限制，取决于外部（例如从上面

lambda x: norm.ppf(0.001, x, 3)

） 这里如何使用skmonaco计算双积分

>>> from skmonaco import mcquad
>>> mcquad(lambda x_y: x_y[0]*x_y[1], # integrand
...     xl=[0.,0.],xu=[1.,1.], # lower and upper limits of integration
...     npoints=100000 # number of points
...     )

正如您所看到的，内部积分的极限不依赖于外积分。 有人可以推荐库或方法来有效地计算这个积分吗？

Answer 1

在scikit-monaco中处理非立方集成卷的最简单方法是重新定义集成函数，使其在集成区域之外返回0（请参阅文档的this部分）：

def modified_integrand(xs):
    x, y = xs
    if norm.ppf(0.001, x, 3) < y < norm.ppf(0.999, x, 3):
        return integrand(xs) # the actual integrand
    else:
        return 0.0

正如Ami Tavori所说，如果集成区域的大部分区域为零，这将是非常低效的。为了进行调解，您可以使用MISER或VEGAS算法：这两种算法都可以“学习”积分的形状，以便在感兴趣的区域更有效地分布点。

那就是说，你的整合区域基本上是一个旋转的矩形：

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm
import numpy as np

xs = np.linspace(-10, 10)
ys = np.linspace(-10, 10)

# Plot integration domain
# Red regions are in the domain of integration, blue
# regions are outside
plt.contourf(xs, ys, 
     [ [ 1 if norm.ppf(0.001, x, 3) < y < norm.ppf(0.999, x, 3) 
         else 0 for x in xs ] for y in ys ])

在这种情况下，旋转积分坐标会好得多。例如，定义

r = x - y
R = (x + y)/2.0

您的被子是：

def rotated_integrand(rs):
    R, r = rs
    x = R + r/2.0
    y = R - r/2.0
    return integrand(np.array([x,y]))

r中的积分限制现在是常量（-9.27..9.27，在您给出的示例中）。 R上的积分限制仍为（-inf，inf），因此您需要逐渐增加R的积分区域，直到积分收敛为止。我肯定会建议使用MISER算法（scikit-monaco中的mcmiser），而不是统一采样。

最后，根据您使用的函数的名称判断，看起来您正在进行某种形式的贝叶斯更新。如果是这种情况，您可以考虑使用Markov Chain Monte Carlo的PyMC库，这可能比通用MC集成库更合适。

Answer 2

蒙特卡洛集成是一个好主意，并不难实现。然而，相对于其他方法，均匀地对点进行采样会收敛，这些方法迭代地进行采样，并且在每个步骤中，基于体积的样本直到该点为止。

检查recursive stratified sampling。

适应您的自定义区域（显然不是超立方体）可能不会非常困难。

不幸的是，我认为没有Python库能够开箱即用。