Question

我需要有效地计算nCr mod p。现在，我已经编写了这段代码，但它超出了时间限制。请提出更优化的解决方案。

就我而言，p = 10^9 + 7 and 1 ≤ n ≤ 100000000

我还必须确保没有溢出，因为nCr mod p保证适合32位整数，但n!可能超出限制。

def nCr(n,k):
    r = min(n-k,k)
    k = max(n-k,k)
    res = 1
    mod = 10**9 + 7

    for i in range(k+1,n+1):
        res = res * i
        if res > mod:
            res = res % mod

    res = res % mod
    for i in range(1,r+1):
        res = res/i
    return res

PS：我认为我的代码可能不完全正确。但是，它似乎适用于小n。如果错了，请指出来！

Answer 1

来自http://apps.topcoder.com/wiki/display/tc/SRM+467：

long modPow(long a, long x, long p) {
    //calculates a^x mod p in logarithmic time.
    long res = 1;
    while(x > 0) {
        if( x % 2 != 0) {
            res = (res * a) % p;
        }
        a = (a * a) % p;
        x /= 2;
    }
    return res;
}

long modInverse(long a, long p) {
    //calculates the modular multiplicative of a mod m.
    //(assuming p is prime).
    return modPow(a, p-2, p);
}
long modBinomial(long n, long k, long p) {
// calculates C(n,k) mod p (assuming p is prime).

    long numerator = 1; // n * (n-1) * ... * (n-k+1)
    for (int i=0; i<k; i++) {
        numerator = (numerator * (n-i) ) % p;
    }

    long denominator = 1; // k!
    for (int i=1; i<=k; i++) {
        denominator = (denominator * i) % p;
    }

    // numerator / denominator mod p.
    return ( numerator* modInverse(denominator,p) ) % p;
}

请注意，我们使用modpow（a，p-2，p）来计算mod逆。这与Fermat的小定理一致，该定理指出（a ^（p-1）与1个模p一致）其中p是素数。因此暗示（a ^（p-2）与^（ - 1）模p）一致。

C ++到Python的转换应该很简单：）

Answer 2

关于最后一个问题：我认为您的代码中的错误是计算产品，将其缩小为模k，然后将结果除以r!。这与减少模k之前的除法不同。例如，3*4 / 2 (mod 10) != 3*4 (mod 10) / 2。

当n非常大时，有效地计算nCr mod p

2 个答案: