如何证明n个节点之间的最大连接数是n *（n-1）/ 2

Question

给定n个节点，如果每个节点都连接到每个其他节点（除了它自己），则连接数将为n *（n-1）/ 2

如何证明这一点？

这不是一个家庭作业问题。我已经远离CS教科书很久了，忘记了如何证明这一点的理论。

Answer 1

你有n个节点，每个节点都有n -1个连接（每个连接都连接到除自身之外的每个节点），所以我们得到n*(n-1)。但是，因为connection（x，y）和（y，x）是相同的（对于所有连接），我们最终得到n*(n-1)/2。

Answer 2

还有一个解决方案，组合： 问题等同于图中可能的节点对数，即：

Answer 3

抱歉这个错误的命名法，我是一个物理学家，而不是CS /数学家。

每个节点（其中有n）必须连接到其他每个节点。每个人都有(n-1)个“。

因此每个n个节点都有n-1个连接。 n(n-1)

但由于每个连接都是“双向”(a to b = b to a)，因此您最终得到的因素是1/2

所以n*(n-1)/2

Answer 4

通过归纳证明。基本情况 - 对于2个节点，有1个连接和2 * 1 / 2 == 1。现在假设N个节点我们有N * (N-1) / 2个连接。添加一个节点必须建立N个附加连接，并且：

N * (N-1) / 2 + N =
(N^2 - N + 2N) / 2 =
(N^2 + N) / 2 =
(N + 1) * N / 2

最后一行恰好N * (N - 1) / 2，N替换为N+1，因此证明不错。

Answer 5

每个顶点的degree为n-1（因为它有n-1个邻居）。
Handshaking lemma ，说：Sigma(deg(v)) (for each node) = 2|E|。因此：

Sigma(deg(v)) (for each node) = 2|E|
Sigma(n-1) (for each node) = 2|E|
(n-1)*n = 2|E|
|E| = (n-1)*n /2 

<强> QED

Answer 6

表示1个节点：n连接

表示2个节点：n-1个连接（已连接第一个节点）

3节点：n-2个连接     .. 对于n节点：n-（n-1）个连接

因此总连接数= n + n-1 + n-2 + ........ 1

                        = n(n-1)/2 (sum of first n-1 natural numbers)

Answer 7

确定N个网络节点可能的最大链路数的最合适的答案是......

链接需要2个节点的可能组合/连接的总数;这样：

(N!) / [(N-2)!)(2!)] = N(N-1)(N-2)! / (N-2)!(2!);

取值 o N(N-1) / 2

其中N>1因为需要2个节点才能拥有链接。

Answer 8

不是一个证明，但是您可以将节点作为坐标和关系“可视化”为矩阵中的单元格，我不知道如何在此处绘制东西。

每个节点一列，每个节点一行，交叉处的单元格就是关系。

您有x x个可能的单元格。但是，您需要删除左上-右下对角线单元（可以将节点链接到其自身）。因此，您删除了x个单元格，仅剩下（x x-x）= x *（x-1）个单元格。然后，单元格（x，y）与单元格（y，x）是同一链接，因此您可以删除剩余单元格的一半：x *（x-1）/ 2

Answer 9

另一个可能的方程，但不如上面的建议那么清晰（（n / 2）-0.5）* n