预测有向无环图上的路径

Question

我遇到了问题，并想知道是否有可能预测最终结果。

这是图表上的一对一（交替移动）游戏（有向无环图） 从起点或节点，玩家1选择边缘到节点v1。从节点v1，播放器2选择边缘到节点v3，依此类推。

如何获胜：一个到达没有边缘输球的节点的玩家。

是否有可能提出一种算法，无论其他玩家做什么，它都能保证获胜？

因此，起始节点是s。玩家1可以选择C或A.所以基本上，有没有办法让我根据某种算法做出决定，这可以保证我获胜？

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在这种情况下，如果我在节点D或B并选择到节点E的边缘，那么我将获胜，然后播放器2卡在节点E上。

*距离无关紧要

Answer 1

您需要将图形的节点分为两类：获胜节点和丢失节点。获胜节点是当前玩家在该节点上具有获胜策略的节点，并且丢失节点是当前玩家将失去的节点，无论他如何玩（假设他的对手正确地玩）。由于这是一个有向无环图，所有节点都是赢或输（因为最终会到达没有输出边的节点）。

没有传出边缘的节点显然正在丢失节点。对于另一个节点N：

• 如果从N到丢失节点存在边缘，则N是获胜节点。
• 否则，N是一个失败的节点。

要对所有节点进行分类，请反向遍历节点topological order。根据上述规则对每个节点进行分类。反向拓扑顺序保证您在对N进行分类之前对从N可以到达的所有节点进行了分类。

完成后，如果起始节点是获胜节点，则有一个获胜策略：始终为丢失的节点选择边缘。

Answer 2

一般来说，没有。这取决于你的图表。假设您有一个奇数个节点的简单树/链（= n个节点和n-1个边的图）。然后玩家二将永远赢，因为你不能强制获胜。

您可以查看一些min-max algorithms来指导您的游戏策略。有了这些，您可以确定谁将通过最后开始并逐步返回来递增获胜，确定DAG的每个子DAG的获胜者。