如果“List”是一个幺半群，它的“集合”是什么？

Question

阅读category theory book，并决定将其应用于haskell。

作者将Monoid定义为：

  

Monoid是一个L组，配有二进制运算*：LxL-> L和L中的区分单位元素u等...

将“List”结构作为monoid，很明显二进制运算为concat，单位为[]。

但是这里的M是什么？ 我试过了L = {set of all lists}，但我认为这会导致我遇到“L在L中？”的问题。问题，这似乎与集合有同样的问题。

或者我在想错误的东西？

编辑：正如@a​​pplicative所指出的，Haskell的列表是名为Free monoids的幺半群！

Answer 1

不是说“List is a Monoid”，而是更准确地说“对于所有类型a，类型[a]是Monoid”。因此，对于任何特定类型a，您的L将为L = {set of all lists of as}。根据这个定义，L当然不能包含它自己。

Answer 2

对于任何类型t，您都可以拥有

L = all elements of the type [t]

然后L是使用++的琐碎方式的幺半群。事实上，我们在Haskell

中将其形式化

class Monoid m where
   mempty  :: m
   mappend :: m -> m -> m

这是一个类型的“类”，它具有形成幺半群的必要操作，所以

instance Monoid [a] where
   mempty = []
   mappend a b = a ++ b

实际上，这被称为“免费幺半群”