通过函数f的同态

Question

我已经从{{3}}阅读到有关monoid同构的信息，并且无法理解100％。

作者说（强调原文）：

length函数从String映射到Int ，同时保留单体结构。这样的功能，可以将一个半身像映射到另一种以这种保存方式被称为 monoid同态。在一般而言，对于mono M和N，同构f: M => N和所有值 x:M，y:M，以下等式成立：
f(x |+| y) == (f(x) |+| f(y))

f(mzero[M]) == mzero[N]

他的意思是说，由于数据类型String和Int是类半群，而函数length映射String => Int保留了类半群结构（Int是一个monoid），它被称为monoid同态，对吧？

Answer 1

他的意思是说，数据类型String和Int是等宽的。

否，String和Int都不是类半体动物。一个单面体是一个三元组（S，⊕，e），其中⊕是一个二元运算符⊕：S×S→S ，因此对于所有元素 a，b，c∈S认为（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c）和e∈S是一个“身份元素”，例如a⊕e=e⊕a= a 。 String和Int是类型，因此基本上是一组值，但不是三元组。

文章说：

让我们将 String串联和 Int添加作为有关系的示例 monoids 。

因此，作者显然还提到了二元运算符（在(++)的情况下为String，在(+)的情况下为Int）。身份（String为空字符串，0为Int）是隐式的；在非正式英语语篇中，将身份留给读者练习是很常见的。

现在假设我们有两个单半体结构（M，⊕，e _m）和（N，⊗，e _n），然后将函数 f：M→N （如length称为monoid homomorphism [wiki]，因为它认为 f（m ₁⊕m₂）= f（m ₁）⊗f（m ₂） m ₁，m ₂∈M并且该映射还保留了标识元素： f（e _m）= e _n 。

例如length :: String -> Int是一个单面体同态，因为我们可以考虑（String，(++)，""）和（Int，(+)，0）。它认为：

length (s1 ++ s2) == length s1 + length s2（对于所有String个s1和s2）；和
length "" == 0。

Answer 2

数据类型本身不能是monoid。对于Monoid，您需要数据类型T和另外两件事：

一个关联二进制运算，我们称之为|+|，它接受两个T类型的元素并产生一个T类型的元素
类型为T的 identity元素，我们将其称为i，这样对于类型为t的每个元素T，以下内容均成立：t |+| i = i |+| t = t

以下是monoid的一些示例：

一组整数，其运算为加法且标识为零
一组整数，其中运算=乘法，同一性= one
操作=附加且标识=空列表的列表集
一组字符串，其操作=串联，身份=空字符串

Monoid同态

通过将.length应用于字符串的所有元素，可以将字符串串联Monoid转换为整数加法Monoid。这两个集合都构成一个半体。顺便说一句，请记住，我们不能只说“一组整数构成一个单半体”。我们必须选择一个关联操作和一个相应的标识元素。如果我们采取除法运算，我们打破了第一条规则（而不是生成整数类型的元素，而可能生成float / double类型的元素）。

方法length允许我们从一个Monoid（字符串串联）转到另一个Monoid（整数加法）。如果这样的操作也保留了类半体结构，则它被认为是 monoid同态。

保留结构意味着：

length(t1 |+| t2) = length(t1) |+| length(t2)

and

length(i) = i'

其中t1和t2代表“源” monoid的元素，i是“源” monoid的标识，i'是“目的地”类半身像。您可以自己尝试一下，看看length确实是一个对字符串串联Monoid进行结构保留的操作，例如indexOf("a")不是。

Monoid同构

如所示，length将所有字符串映射到它们相应的整数，并形成一个以加法运算为运算符和以零表示为标识的monoid。但是我们不能返回-对于每个字符串，我们都可以计算出它的长度，但是在给定长度的情况下，我们无法重构“原始”字符串。如果可以的话，“向前”操作与“向后”操作相结合将形成 monoid同构。

同构意味着能够来回移动而不会丢失任何信息。例如，如前所述，列表在附加为操作和空列表作为标识元素的情况下形成一个monoid。我们可以从“附加列表下的” monoid转到“附加矢量下的” monoid，然后返回而不会丢失任何信息，这意味着操作.toVector和.toList共同形成同构。鲁纳尔在课文中提到的同构的另一个示例是String⟷List[Char]。

Answer 3

通俗地说，同构是保留结构的函数。在length函数的示例中，保留的结构是to字符串的长度之和等于相同字符串的串联长度。由于字符串和整数都可以视为等分体（当配备了等式和遵循二等性律的关联二进制运算时），length被称为类同态。

另请参阅其他答案以获取更多技术说明。

Answer 4

trait Monoid[T] {
def op(a: T, b: T): T
def zero: T
}

val strMonoid = new Monoid[String] {
  def op(a: String, b: String): String = a ++ b
  def zero: String = ""
}

val lcMonoid = new Monoid[List[Char]] {
  def op(a: List[Char], b: List[Char]): List[Char] = a ::: b
  def zero = List.empty[Char]
}

通过函数f的同态

f{M.op(x,y)} = N.op(f(x),g(y))

for example, using toList available on String

//in REPL
scala> strMonoid.op("abc","def").toList == lcMonoid.op("abc".toList,"def".toList)
res4: Boolean = true

通过函数f和g

同构

M和N之间存在双向同构，

f{M.op(x,y)} = N.op(f(x),f(y))
g{N.op(x,y)} = M.op(g(x),g(y))

如果（f andThen g）和（g andThen f）都是识别函数，则通过f和g的等式M和N是同构的。

g{f{M.op(x,y)}} = g{N.op(f(x),f(y))} = M.op(g(f(x)),g(f(y))) = M.op(x,y)

例如，使用toList上可用的String和toString上可用的List[Char]（其中toList andThen toString和toString andThen toList是身份函数）< / p>

scala> ( strMonoid.op("abc","def").toList ).toString == ( lcMonoid.op("abc".toList,"def".toList) ).toString
res7: Boolean = true

monoid同态到底是什么？

4 个答案:

通过函数f的同态

同构