Question

好像我很清楚地了解this.state.initialPos在Haskell中是什么，但是上次我听说了一个叫做免费类半身像的东西。

什么是免费的半身像，它与一个半身像有什么关系？

您可以在Haskell中提供示例吗？

Answer 1

在编程环境中，我通常将 free monoid 转换为[a]。 Bartosz Milewski在他的有关category theory for programmers的精彩文章系列中，将Haskell中的free monoids描述为列表半等式（假设一个人忽略了无限列表的某些问题）。

identity元素为空列表，二进制操作为列表串联：

Prelude Data.Monoid> mempty :: [Int]
[]
Prelude Data.Monoid> [1..3] <> [7..10]
[1,2,3,7,8,9,10]

直觉上，我认为此monoid是“免费的”，因为无论您要使用哪种价值类型，您都可以始终应用此monoid（就像免费monad是您可以始终从任何仿函数创建的一个monad。

另外，当一个类型存在一个以上的monoid时，自由的monoid将推迟使用哪个特定的monoid的决定。例如，对于整数，存在无限多的类四面体，但最常见的是加法和乘法。

如果您有两个（或多个整数），并且知道可能要对其进行汇总，但尚未决定要应用哪种类型的汇总，则可以使用免费的“汇总”它们monoid-实际上，这意味着将它们放在列表中：

Prelude Data.Monoid> [3,7]
[3,7]

如果您以后决定要将它们添加在一起，则可以：

Prelude Data.Monoid> getSum $ mconcat $ Sum <$> [3,7]
10

相反，如果您希望将它们相乘，也可以这样做：

Prelude Data.Monoid> getProduct $ mconcat $ Product <$> [3,7]
21

在这两个示例中，我故意选择将每个数字提升为体现更具体的类半体的类型（Sum，Product），然后使用mconcat来执行聚集。

对于加法和乘法，有更多简洁的方法可以做到这一点，但是我这样做是为了说明如何使用更具体的monoid来解释自由monoid。

Answer 2

您已经知道，monoid是一个集合，其中元素e和操作<>满足

e <> x = x <> e = x  (identity)
(x<>y)<>z = x<>(y<>z)  (associativity)

现在，直观上是 free 的等分体，是仅满足上述等式以及它们所有后果的等分体。

例如，Haskell列表等式([a], [], (++))是免费的。

相比之下，Haskell总和二等式(Sum Int, Sum 0, \(Sum x) (Sum y) -> Sum (x+y))不是自由的，因为它还满足其他方程式。例如，它是可交换的

x<>y = y<>x

这不是从前两个方程式得出的。

请注意，在数学上可以证明，所有自由单边形与列表单边形[a]是同构的。因此，编程中的“免费monoid”只是任何一种数据结构的奇特名词，这些数据结构可以1）转换为列表，然后返回而又不丢失信息，并且2）反之亦然，可以将列表转换为它，往返，不会丢失任何信息。

在Haskell中，您可以在心理上用“类似列表的类型”代替“自由monoid”。

Answer 3

一个自由的类人动物是一种特殊类型的类人动物。具体来说，就是通过将一组固定的元素作为字符，然后从这些元素形成所有可能的字符串来获得的Monoid。这些字符串，其基本操作是字符串连接，形成一个monoid，该monoid称为自由monoid。

Answer 4

monoid (M,•,1)是如下数学结构：

M是一组
1是M的成员
• : M * M -> M
a•1 = a = 1•a
给定a中的元素b，c和M，我们有a•(b•c) = (a•b)•c。

集合M上的一个自由的monoid是一个(M',•,0)和一个函数e : M -> M'的一个monoid，因此，对于任何(N,*,1)的monoid，给定一个（集合）映射{{1 }}我们可以将其扩展为一个半同态射影f : M -> N，即

f' : (M',•,0) -> (N,*,1)

换句话说，这是一个没有特别之处的单面体。

一个简单的monoid实例是整数，其运算为加法运算，且标识为0。另一个monoid是整数序列，其运算为串联运算，且其标识为空序列。现在，加法运算中的整数不是整数上的自由monoid。将映射考虑为取f a = f' (e a) f' 0 = 1 f' (a•b) = (f' a) • (f' b)至n的整数序列。然后，为了使它免费，我们需要将其扩展到将(n)到n + m的地图，即，它必须将(n,m)到0和(0)并转到(0,0)，依此类推。

另一方面，如果我们尝试将整数序列看做是整数上的自由单边形，那么在这种情况下它似乎可以工作。通过加法将映射扩展为整数是一种将序列之和（（）的总和为0）。

那么集合(0,0,0)上的免费monoid是什么？我们可以尝试的一件事就是S的任意二叉树。在Haskell类型中，它看起来像：

它将具有data T a = Unit | Single a | Conc (T a) (T a)，Unit和e = Single的身份。

我们可以编写一个函数来显示它是如何免费的：

(•) = Conc

很明显，这满足了-- here the second argument represents a monoid structure on b free :: (a -> b) -> (b -> b -> b, b) -> T a -> b free f ((*),zero) = f' where f' (Single a) = f a f' Unit = zero f' (Conc a b) = f' a * f' b上的免费monoid所必需的法律。除以下一项外：a不是一个单面体，因为它不能完全满足定律4或5。

所以现在我们应该问是否可以将其变成一个更简单的自由类半体，即一个实际的类半体。答案是肯定的。一种方法是观察T a和Conc Unit a和Conc a Unit应该相同。因此，让前两种类型无法表示：

Single a

我们可以做的第二个观察是，data TInner a = Single a | Conc (TInner a) (TInner a) data T a = Unit | Inner (TInner a)和Conc (Conc a b) c之间应该没有区别。这是由于上述法律5所致。然后我们可以展平我们的树：

Conc a (Conc b c)

data TInner a = Single a | Conc (a,b,[a]) data T a = Unit | Inner (TInner a)力的奇怪构造是只能用一种方式来表示Conc和Single a。但是我们看到可以将所有这些合并在一起：将Unit的定义更改为Conc，然后将Conc [a]更改为Single x，将Conc [x]更改为{ {1}}，我们有：

Unit

或者我们可以这样写：

Conc []

操作如下：

data T a = Conc [a]

因此在Haskell中，列表类型称为自由类半身像。

Free Monoid和Monoid之间的主要区别是什么？

4 个答案: