Question

很明显，如果一个数据结构是一个monoid，它是可折叠的，但是可以确定地说一个数据结构是可折叠的，它是monoid吗？

https://en.wikibooks.org/wiki/Haskell/Foldable

如果数据结构是可折叠的，那么它是一个monoid吗？

Answer 1

您的主张“如果数据结构是Monoid，那么它就是Foldable”，这是不合理的。例如：

newtype ActionList a = ActionList (IO [a])

instance Monoid (ActionList a) where
    mempty = ActionList (return [])
    ActionList a `mappend` ActionList b = ActionList (liftA2 (++) a b)

这是一个非常好用的类人动物。但是，由于其所有值都在IO下，因此您无法从Foldable观察到它们中的任何一个。唯一的Foldable实例将是一个总是返回空的实例（从技术上讲，这是有效的，因为foldMap确实没有关于其有效性的任何定律，但是很难说这是一个好例子。具有直脸的实例）。

您要问的相反情况也不正确。例如：

data TwoThings a = TwoThings a a

这是可折叠的：

instance Foldable TwoThings where
    foldMap f (TwoThings x y) = f x <> f y

但是，如果以任何相关方式同时是Foldable和Monoid的话，我希望以下同态定律成立：

foldMap f mempty = mempty
foldMap f (a <> b) = foldMap f a <> foldMap f b

我们无法使这些法律适用于TwoThings。请注意，foldMap (:[]) a的{{1}}始终具有两个元素。但是第二定律在左边有两个元素，在右边有四个元素。但是，dfeuer's answer显示，不需要法律来找到反例。

Answer 2

这里有些Foldable（甚至是Traversable）也不希望成为Monoid的希望：

{-# language EmptyCase #-}

data F a

instance Foldable F where
  foldMap _ t = case t of
  -- or, = mempty
instance Traversable F where
  traverse _ t = case t of
  -- or, = pure $ case t of

instance Semigroup (F a) where
  -- the only option
  x <> _ = x

instance Monoid (F a) where
  mempty = ????

如果数据结构是可折叠的，它是否是一个monoid？

2 个答案: