subfactorial modulo prime（！n mod p）

Question

是否有一种简单的方法可以实施!n mod p（number of derangements）where n ≤ 2∗10^8而p是素数而p < 1000

程序必须快速执行，因此天真的方法不起作用。

Answer 1

事实证明，!n mod p是周期性的，期间为2p。因此，我们可以将!n mod p计算为!(n mod 2p) mod p，我们使用紊乱!n = (n-1) (!(n-1) + !(n-2))的递归公式进行计算。

证明：

• 通过紊乱的递归关系观察!(p+1) = 0 mod p。
• 工作模p，!(n+p) = !p * !n（这可以使用先前的观察结果进行归纳证明）。
• 观察!p = -1 mod p。维基百科提供了一个公式：!n = n! - Sum[(n choose i) * !(n-i), i=1..n] - 模p，右侧唯一的非零术语显示在i=n的位置。
• 结束!(n+2p) = !p !p !n = !n mod p。

从证据中我们发现，当!n = ± !(n mod p) mod p小于n mod 2p时，我们可以实际计算p符号为正的位置。

Answer 2

使用递归公式（!n = (n - 1) (!(n-1) + !(n-2))），为什么不实现“乘法模p”和“加模p”操作？