Question

我正在尝试用Java重写一个代码，解决一组在浮点数上进行高斯消元的线性方程，以处理模数为素数的方程式。问题是它不起作用，我无法弄清楚出了什么问题。它似乎适用于小型方程组，但不适用于大型方程组，这使得调试变得困难。

我的算法取第一行，通过找到第一个元素的倒数来规范化它，并将该行中的每个元素乘以该倒数。然后它从其他行中减去这一行足够的次数，使它们的第一个元素为零。在下一次迭代中，它转到下一行并执行相同的过程，直到第i行的pivoting元素在列i中。最后，它从前一行中减去每一行，使每列只有一个非零元素（最后一行除外）。（截至目前我使用双打，这是不必要的，但这应该不是问题）。这是我的代码：

// Transforms A so that the leftmost square matrix has at most one 1 per row,
    // and no other nonzero elements.
    // O(n^3)
 public static void gauss(int[][] A, int num_columns) {
        int n = A.length;
        int m = A[0].length;

        for (int i = 0; i < num_columns; i++) {
            // Finding row with nonzero element at column i, swap this to row i
            for(int k = i; k < num_columns; k++){
                if(A[k][i] != 0){
                    int t[] = A[i];
                    A[i] = A[k];
                    A[k] = t;
                }
            }
            // Normalize the i-th row.
            int inverse = (int)inverse((long)A[i][i], prime);
            for (int k = i ; k < m; k++) A[i][k] = (A[i][k]*inverse) % prime;

            // Combine the i-th row with the following rows.
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if(j == i) continue;
                int c = A[j][i];
                A[j][i] = 0;
                for (int k = i + 1; k < m; k++){
                    A[j][k] = (A[j][k] - c * A[i][k] + c * prime) % prime;
                }
            }
        }
    }

    public static void gauss(int[][] A) {
        gauss(A, Math.min(A.length, A[0].length));
    }
    public static long gcd(long a, long b){
        if(a < b){
            long temp = a;
            a = b;
            b = temp;
        }
        if(b == 0) return a;
        return gcd(b, a % b);
     }
    public static Pair ext_euclid(long a, long b){
        if(a < b){
            Pair r = ext_euclid(b,a);
            return new Pair(r.second, r.first);
        }
        if(b == 0) return new Pair(1, 0);
        long q = a / b;
        long rem = a - b * q;
        Pair r = ext_euclid(b, rem);
        Pair ret = new Pair(r.second, r.first - q * r.second);
        return ret;
    }

    public static  long inverse(long num, long modulo){
        num = num%modulo;
        Pair p = ext_euclid(num, modulo);
        long ret = p.first;
        if(ret < 0) return (modulo + ret) % modulo;
        return ret % modulo;
    }

    static class Pair{
        public long first;
        public long second;
        public Pair(long frst, long scnd){
            first = frst;
            second = scnd;
        }
    }

这适用于小例子（mod 29）：

matrix = {{1.0, 1.0, 1.0, 1.0}, {1.0, 2.0, 1.0, 2.0},{1.0, 0.0, 0.0‚ 3.0}};
answer= {{1.0, 0.0, 0.0, 0.0},{0.0, 1.0, 0.0, 1.0}, {0.0, 0.0, 1.0, 0.0}};

哪个是正确的（第一个变量= 0，第二个= 1.0，第三个= 0），因为对于k = 1，WolframAlpha可以检查0 * k ^ 0 + 1 * k ^ 1 + 0 * k ^ 2。 0.3。

对于这个例子，有10个变量，方程a * k ^ 0 + b * k ^ 1 + c * k ^ 2 ...（mod 29）对于k = 1..11，我有这个矩阵：

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 
1 2 4 8 16 3 6 12 24 19 9 5 
1 3 9 27 23 11 4 12 7 21 5 12 
1 4 16 6 24 9 7 28 25 13 23 12 
1 5 25 9 16 22 23 28 24 4 20 15 
1 6 7 13 20 4 24 28 23 22 16 0 
1 7 20 24 23 16 25 1 7 20 24 5 
1 8 6 19 7 27 13 17 20 15 4 1 
1 9 23 4 7 5 16 28 20 6 7 18 
1 10 13 14 24 8 22 17 25 18 7 20 
1 11 5 26 25 14 9 12 16 7 7 8

使用我的算法我得到答案：

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 15 
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 11 
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 28 
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 27 
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 7 
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 21 
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 9 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 24 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 14

但这是错的！（可以用WolframAlpha检查）。正确的答案应该是（a b c ...）=（8 13 9 13 4 27 18 10 12 24 15）。

有人可以发现我的错误吗？或者我误解了怎么做Gauss mod p？

Answer 1

在第一阶段，你似乎没有在第i个位置找到一个非零行。鉴于此，以及我不知道您的inverse函数如何工作的事实，您可能会遇到或可能不会遇到问题。

我不明白你为什么要在第二阶段寻找“枢轴”。你知道他们从第一阶段到底在哪里。实际上，我不明白为什么你会有第二阶段。在第一阶段完成所有淘汰。这将大大澄清您的代码。

我不明白为什么你在矩阵中使用double s。我也不明白你为什么在整个地方使用Math.abs;平等比较在这里非常合适。

最后，你正在解决Vandermonde系统。如果这是你的应用程序，而不仅仅是一个测试用例，你应该使用拉格朗日插值代替。

高斯消元模p

1 个答案: