后缀树中的最大和最小边数

Question

后缀树中的最大和最小边数是多少？我知道最大值是2m-1，但我不明白为什么会这样。

Answer 1

首先，关于最大边数：

如果您认为边缘有两种形式，那么很容易理解：通向叶节点的边缘和通向内部节点的边缘。在下文中，我将假设为后缀树构造的字符串的长度为N个字符。

1. 关于导致树叶的边缘。每个后缀必须只有一个叶子，每个叶子只有一个入站边缘（没有出站边缘）。因此必须有N个边缘导致离开。

2. 关于通往内部节点的边缘。与叶节点一样，内部节点也各自只有一个入站边。因此，为了确定可能存在多少通向内部节点的边缘，足以确定可以存在多少个内部节点。那么，内部节点的最大可能数量是多少？

   为此，重要的是要看到内部节点仅插入到分支点的后缀树中，即内部节点的出站边的数量始终至少为2（如果有的话）只有一个出站边，内部节点不会在第一个位置构建）。但是每个出站边缘必须最终导致叶节点（可能在经过更多内部节点之后）。换句话说，插入到树中的每个内部节点将叶节点的总数增加至少1.此外，即使没有内部节点的树也必须至少有一个边缘从根节点出来（除非树是空）。因此，在非空树中，叶L的总数必须为

   L >= I + 1
   

   其中I是内部节点的数量。相反，内部节点的数量是

   I <= L - 1 = N - 1
   

   回到原始问题，正如我们所说，导致内部节点的边数与内部节点的数量相同，因此它也受N - 1的约束。

我们总结，边的总数是通向叶子的边数（N）加上通向内部节点的边数（<=N-1），因此最大受

约束

N + (N-1) = 2N - 1

quod erat demonstrandum。

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关于最小边数：这遵循相同的原则，即我们计算通向叶子的边数和通向内部节点的边数，然后将它们加在一起。 / p>

导致离开的节点数始终为N，即N是最大值和最小值。

但是，通向内部节点的节点数可能为零。例如。当输入字符串没有重复的元素时，例如abcdef，正好有N个边，每个边从直根到叶。没有分支点，没有内部节点。因此，通向内部节点的最小边数为0.

总之，最小边数为N + 0 = N。