后缀树中的最大和最小节点数

Question

后缀树中的最大和最小节点数是多少？我该如何证明呢？

Answer 1

假设输入文本的长度为N个字符，则最小节点数（包括根节点和所有叶节点）为N+1，最大节点数，包括根和叶，是2N-1。

最低证明：每个后缀必须至少有一个叶节点，并且有N个后缀。不需要任何内部节点，例如：如果文本是一系列唯一符号abc$，则没有分支，因此在结果后缀树中没有内部节点：

因此，在N个节点中，最小值是0个叶子，1个内部节点和N+1个根节点。

最大证明：叶子节点的数量永远不会大于N，因为叶子节点是后缀结束的地方，并且您不能超过{{ 1}}长度为N的字符串中的不同后缀。 （事实上​​，你总是有完全N个不同的后缀，因此确切地说N叶节点。）根节点总是精确N，所以问题是内部的最大数量是多少节点。每个内部节点在树中引入一个分支（因为后缀树的内部节点至少有2个子节点）。每个新分支最终必须至少导致一个额外的叶节点，因此如果您有1个内部节点，则必须至少有K个叶节点，并且根节点的存在至少需要一个额外的叶子（除非树是空的）。但叶子节点的数量受K+1的限制，因此内部节点的最大数量由N限制。这样可以产生N-2个叶子，N根，最多1个内部节点，N-2。

要看到这不仅是理论上限，而且一些后缀树实际上达到了这个最大值，可以考虑一个只有一个重复字符的字符串：'aaa $'。确认此后缀树有7个节点（包括root和leaves）：

摘要：很明显，唯一真正的变量是内部节点的数量;对于所有后缀树，根和叶的数量始终为2N-1和1，而内部节点的数量在N和0之间变化。