在给定多个节点的情况下，在AVL树中查找最小和最大高度？

Question

在给定一定数量的节点的情况下，是否有公式来计算AVL树的最大和最小高度？

例如：
教科书问题：
3个节点，5个节点和7个节点的AVL树的最大/最小高度是多少？ 教科书答案：
3个节点的AVL树的最大/最小高度为2/2，5个节点的最大/最小高度为3/3，7个节点的最大/最小高度为4/3

我不知道他们是否通过一些神奇的公式计算出来，或者他们是否为每个给定的高度绘制了AVL树并确定了这一点。

Answer 1

以下解决方案适合手工处理并获得直觉，请参阅本答案底部的确切公式，了解更大的树木（54个以上节点）。

最小高度很容易，只需用节点填充树的每个级别，直到用完为止。那个高度是最低的。

要找到最大值，请执行与最小值相同的操作，但然后返回一步（删除最后放置的节点）并查看是否将该节点添加到相反的子树（从它刚才的位置）违反了AVL树属性。如果是这样，您的最大高度就是您的最小高度。否则，这个新高度（应该是最小高度+ 1）是你的最大高度。

如果您需要概述AVL树的属性，或者只是AVL树的一般说明，Wikipedia is a great place to start.

实施例

让我们以7节点为例。你填写所有级别并找到一个完全填充的高度为3的树。（1级为1，级别2为2，级别为3级.1 + 2 + 4 = 7个节点。）这意味着3是您的最小值。

现在找到最大值。删除最后一个节点并将其放在左侧子树而不是右侧。右子树仍然具有高度3，但左子树现在具有高度4.然而，这些值相差小于2，因此它仍然是AVL树。因此，您的最大高度为4.（最小值+ 1）

下面列出了所有三个示例（请注意，这些数字对应于展示顺序， NOT值）：

公式 ¹ ：

如果您的树具有非常大的节点数，则上面显示的技术不成立。在这种情况下，可以使用以下公式计算精确的最小/最大值。

给定n个节点 ² ：

最低限度： ceil（log ₂ （n + 1））

最高：楼层（1.44 * log ₂ （n + 2） - .328）

如果你很好奇，第一次max-min＆gt; 1是n = 54时。

^{1 感谢Jamie S将更多节点计数的失败引起我的注意。}

^{2 这些公式来自Wikipedia AVL page，插入了常量。原始来源是Donald E. Knuth的排序和搜索（第2版​​）。}

Answer 2

重要的是要注意AVL树的以下定义特征。

AVL树属性

• AVL树的节点遵守BST属性
• AND任何节点的左右子树的高度相差不超过1。

定理：AVL属性足以维持最坏情况下的树高O（log N）。

请注意下图。

  - T1由T0 + 1节点组成，高度为1   - T2由T1和T0 + 1节点组成，高度为2   - T3由左子树的T2和右边的T1组成    子树+ 1节点，高度为3   - T4由左子树的T3和右边的T2组成    子树+ 1节点，高度为4 。

如果你采用 O的上限（log N），其中N表示AVL树中的节点数，则得到高度。

  

示例）T4包含12个节点。 [ceiling] O（log 12）= 4。

看到这里发展的模式??

**最差情况下的身高是

Answer 3

让我们假设节点数 n

尝试找出AVL树的最小高度与尝试使树完成相同，即填充每个级别的所有可能节点，然后移动到下一级别。< / p>

因此，在每个级别，符合条件的节点数量增加 2 ^（h-1），其中h是树的高度。

  

因此，在h = 1时，节点（1）= 2 ^（1-1）= 1个节点

     

对于h = 2，节点（2）=节点（1）+ 2 ^（2-1）= 3个节点

     

对于h = 3，节点（3）=节点（2）+ 2 ^（3-1）= 7个节点

所以只找到最小的h，节点（h）大于给定的节点数n。

现在解决AVL树的最大高度问题： -

假设AVL树的高度为h，F（h）是AVL树中的节点数，

因为它的高度最大，我们假设它的左子树FL和右子树FR的高度差为1（因为它满足AVL属性）。

现在假设FL是一个高度为h-1的树，FR是一个高度为h-2的树。

现在

中的节点数量

  

F（h）= F（h-1）+ F（h-2）+1（Eq 1）

双方都加1：

  

F（h）+ 1 =（F（h-1）+1）+（F（h-2）+1）（Eq 2）

所以我们将最大高度问题减少到Fibonacci sequence。而这些树F（h）被称为Fibonacci Trees。

因此，F（1）= 1且F（2）= 2

所以为了获得最大高度，只需找到斐波纳契数列中小于或等于n的数字的索引。

所以申请（Eq 1）

F（3）= F（2）+ F（1）+ 1 = 4，所以如果n介于2和4之间，树的高度为3。

F（4）= F（3）+ F（2）+ 1 = 7，类似地，如果n在4到7之间，树将具有高度4.

等等。

Answer 4

http://lcm.csa.iisc.ernet.in/dsa/node112.html

大约是1.44 * log n，其中n是节点数。

有关如何派生的详细说明。您可以参考从第13页中间开始的链接：http://www.compsci.hunter.cuny.edu/~sweiss/course_materials/csci335/lecture_notes/chapter04.2.pdf