Question

我正在学习问题中的引理之间的区别。我能找到的每个参考都使用了这个例子：

{(a^i)(b^j)(c^k)(d^l) : i = 0 or j = k = l}

显示两者之间的差异。我可以找到一个使用常规引理来“反驳”它的例子。

选择w = uvxyz，s.t。 | VY | ＆GT; 0，| vxy | ＆lt; = p。假设w包含相同数量的b，c，d's。

我选择了：

u,v,x = ε
y = (the string of a's)
z = (the rest of the string w)

抽取y只会增加a的数量，如果| b | = | c | = | d |起初，它现在还会。

（类似的论据，如果w没有a。那么只需抽出你想要的任何东西。）

我的问题是，奥格登的引理如何改变这种策略？ “标记”有什么作用？

谢谢！

Answer 1

这里一个重要的绊脚石问题是“能够抽水”并不意味着没有上下文，而是“无法抽水”表明它不是无环境的。 同样，being grey does not imply you're an elephant, but being an elephant does imply you're grey...

Grammar context free        => Pumping Lemma is definitely satisfied  
Grammar not context free    => Pumping Lemma *may* be satisfied
Pumping Lemma satisfied     => Grammar *may* be context free
Pumping Lemma not satisfied => Grammar definitely not context free
# (we can write exactly the same for Ogden's Lemma)
# Here "=>" should be read as implies

也就是说，为了证明语言不上下文无关，我们必须显示失败（！）以满足其中一个这样的引理。 （即使它满足两者，我们还没有证明它是无上下文的。）

下面是L = { a^i b^j c^k d^l where i = 0 or j = k = l}不是上下文的草图证明（虽然它满足抽水引理，它不符合奥格登的引理）：

Pumping lemma for context free grammars:

如果某个语言L是无上下文的，则存在一些整数p ≥ 1，以便s中L的所有字符串|s| ≥ p都带有p（其中{ {1}}是一个抽水长度）可以写成   s = uvxyz
  使用子字符串u, v, x, y and z，以便：   1. |vxy| ≤ p，
  2. |vy| ≥ 1和
  3.对于每个自然数u v^n x y^n z，L位于n。

在我们的示例中：

对于s中的任何L（|s|>=p)：

如果s包含a s，请选择v=a, x=epsilon, y=epsilon （并且我们没有矛盾对于无上下文的语言）
如果s不包含a s w=b^j c^k d^l且其中一个j，则k或l不为零，因为{ {1}}）然后选择|s|>=1（如果v=b，j>0 elif v=c，则k>0），v=c，{{1} } （我们对无语境的语言没有矛盾）。

（很遗憾：使用Pumping Lemma，我们无法证明x=epsilon的任何内容！
注意：上面的内容基本上就是你在问题中提出的论点。）

Ogden's Lemma:

如果某个语言y=epsilon没有上下文，则存在一些数字L（其中L可能是或可能不是抽样长度），以便对任何字符串{{1 p > 0中至少p的长度{} w p中L或p的每一种方式都可写为   w
  字符串w和w = uxyzv使得：
  1. u, x, y, z,至少有一个标记位置，
  2. v最多有xz个标记位置，以及
  3. xyz位于p，每u x^n y z^n v。

注意：这个标记是Ogden引理的关键部分，它说：“不仅每个元素都可以被”抽“，而且可以使用任何L标记位置进行抽取。

在我们的示例中：

让n ≥ 0标记p s的位置（其中w = a b^p c^p d^p，b满足Ogden引理的要求），并p 1}}是满足Ogden引理（w）条件的分解。

如果u,x,y,z,v或z=uxyzv包含多个符号，则x不在z中，因为错误的顺序会有符号（请考虑u x^2 y z^2 w ）。

L或(bc)^2 = bcbc必须包含x（按引理条件1。）

这使我们有五个案例要检查（z）：

b

i,j>0

x=epsilon, z=b^i

x=a, z=b^i

x=b^i, z=c^j

在每种情况下（通过比较x=b^i, z=d^j，x=b^i, z=epsilon和b的数量），我们可以看到c不在d中（我们对语言的矛盾（！）是无上下文的，也就是说，我们已经证明u x^2 v y^2 z不是上下文）

总结一下，L不是没有上下文的，但是无法使用抽取引理（但可以由Ogden的引理）证明，因此{ {3}}那个：

Ogden的引理是针对无语境语言的第二个更强大的抽象引理。

Answer 2

我不太确定如何在这里使用奥格登的引理，但你的“证明”是错误的。当使用泵浦引理来证明语言不是上下文时，你不能选择拆分为uvxyz。分裂是“为你”选择的，你必须证明任何uvxyz都没有满足引理。

使用Ogden引理与常规泵浦引理用于无上下文语法

2 个答案:

Pumping lemma for context free grammars:

在我们的示例中：

Ogden's Lemma:

在我们的示例中：