Question

下面是我写的一些伪代码，给定一个数组A和一个整数值k，如果A中有两个不同的整数，则返回true，否则返回false。我试图确定这个算法的时间复杂度。

我猜这个算法在最坏情况下的复杂性是O（n ^ 2）。这是因为第一个for循环运行n次，并且此循环中的for循环也运行n次。 if语句进行一次比较并返回一个值，如果为true，它们都是常量时间操作。最终的return语句也是一个恒定的时间操作。

我的猜测是否正确？我是算法和复杂性的新手，所以如果我在任何地方出错，请纠正我！

Algorithm ArraySum(A, n, k)
for (i=0, i<n, i++)
    for (j=i+1, j<n, j++)
        if (A[i]+A[j]=k)
            return true
return false

Answer 1

Azodious的推理是不正确的。内循环不会简单地运行n-1次。因此，您不应使用(outer iterations)*(inner iterations)来计算复杂性。

需要注意的重要一点是，内循环的运行时随外循环的每次迭代而变化。

这是正确的，第一次循环运行时，它会进行n-1次迭代。但在那之后，迭代量总是减少一个：

n - 1
n - 2
n - 3
...
2
1

我们可以使用Gauss' trick (second formula)对此系列进行求和以得到n(n-1)/2 = (n² - n)/2。这是在最坏的情况下比较总共运行的次数。

由此可以看出，绑定不能比O(n²)更严格。如你所见，没有必要猜测。

请注意，您无法提供有意义的下限，因为算法可能在任何步骤后完成。这意味着算法的最佳情况是O(1)。

Answer 2

是。在最坏的情况下，您的算法是O（n ²）。

您的算法是O（n ²），因为每个输入实例都需要时间复杂度O（n ²）。
您的算法是Ω（1），因为存在一个输入实例只需要时间复杂度Ω（1）。

以下内容出现在 Cormen ， Leiserson共同撰写的算法导论的第3章功能增长中， Rivest 和 Stein 当我们说算法的运行时间（无修饰符）是Ω（g（n））时，我们的意思是没有为n的每个值选择大小为n的特定输入，运行对于足够大的n ，该输入上的时间至少是恒定时间g（n）

给定其中前两个元素的总和等于k的输入，该算法在返回true之前将仅进行一次加法和一次比较。因此，此输入需要恒定的时间复杂度，并使该算法的运行时间为Ω（1）

无论输入是什么，该算法在返回值之前最多需要n（n-1）/ 2次加法和n（n-1）/ 2次比较。因此，该算法的运行时间为O（n ²）

总之，我们可以说该算法的运行时间介于Ω（1）和O（n ²）之间。我们还可以说这个算法的最坏情况运行是Θ（n ²）。

Answer 3

你说得对，但让我解释一下：

这是因为第一个for循环运行n次，并且此循环中的for循环也运行n次。

实际上，第二个循环将运行 (n-i-1) 次，但就复杂性而言，它仅被视为n。 （根据phant0m的评论更新）

因此，在最糟糕的情况下，它会运行n * (n-i-1) * 1 * 1次。这是O(n^2)。

在最佳情况下，它会运行1 * 1 * 1 * 1次，即O(1)，即不变。

确定算法的时间复杂度

3 个答案: