关于对数的Big-O表示法

Question

我被问到一个面试问题，希望我能够辨别几个对数函数的Big-O表示法。功能如下：

f（x）= log ⁵ （x）

f（x）= log（x ⁵ ）

f（x）= log（6 * log x）

f（x）= log（log x）

有人告诉我，第一个和第二个的Big-O不等同，第三个和第四个在错误地猜测相反之后是不相等的。任何人都可以解释为什么他们不相同，那么他们的Big-O是什么？

Answer 1

1. log ⁵ x与编写日志日志日志日志x相同，后者是x的非常缓慢增长函数。
2. 这相当于5 log x（在日志中重写取幂作为外部乘法），相当于log x。
3. 这相当于log 6 + log log x，相当于log log x。
4. 这只是log log x。

所以你有O（日志日志日志日志x），O（日志x），O（日志日志x）和O（日志日志x），三个不同的Big-O类。

如果你的面试官说3和4不同，要么他弄错了，要么你错误地记住了这个问题（一直都是这样）。

Answer 2

这是一个数学问题：

1. f（x）= log ⁵ （x）
2. f（x）= log（x ⁵ ）= 5 * log x
3. f（x）= log（6 * log x）= log 6 + log（log x）
4. f（x）= log（log x）

所以Big O是

1. 为O（log ⁵ （X））
2. O（log x）
3. O（log（log x））
4. O（log（log x））

所以（1）和（2）不相等，但（3）和（4）是（尽管它们与（1）和（2）都不同）

Answer 3

f(x) = log^5(n)
f(x) = log(n^5) -> 5 log(n)
O(5 log(n)) < O(log(n)^5)

f(x) = log(6*log n) -> log(6)+log(log(n))
f(x) = log(log n) 
log(log n) < log(6) + log(log(n)) 

，虽然log（6）是常数，因此它们具有相同的O

Answer 4

我认为你的意思是f(n)，而不是f(x)。对于1和2，log^5(n)相当于O(log log log log log(n))，而log(n^5) = 5 log(n) = O(log n)。

对于3和4，我不同意。 log(6*log n) = log(6) + log(log n) = O(log log n)，与4 - O(log log n)相同。