有关Big-O，Theta和Omega表示法的两个问题

Question

证明或反对以下声明：

1. 存在函数f(n)，因此f(n-k)不等于Big-theta (f(n))。 k>=1为正常数时。

此声明是否有任何正确的功能？ 我曾考虑过f(n)=n!，但不确定该答案是否正确。 而且，如果f(n)=n!是正确的，那么如何证明这一说法？

1. 存在功能，因此(f(n))^2=Big-O(f(n))和f(n)=Big-omega (log(log(n)))。

我认为没有功能可以使说法正确。 如果这是正确的-如何证明？

Answer 1

1. 更正为f（n）= n!。足以证明对于任何固定k> = 1，（n-k）！不是Omega（n！），因为任何常量c> 0，它对于所有n都足以使c * n！成立。 >（n-k）！。

2. 没有f（n）使得f（n）^ 2 = O（f（n））和f（n）= Omega（log log n）。后者意味着对于某个常数c> 0且所有n都足够大，f（n）> c log log n，特别是对于所有n足够大的f（n）> 1。如果现在假设f（n）^ 2 = O（f（n）），则存在一个常数r> 0，因此对于所有足够大的n，f（n）^ 2 e ^（e ^（r / c））（其中e是对数的基础），则为假。