如何证明对数复杂度

Question

for (int i = 1; i < N; i *= 2) { ... }

这样的事情是对数复杂性的签名。

但是如何得到log（N）？

你能提供数学证据吗？

Answer 1

有关算法复杂性的有用参考：http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

在第n次迭代中，

i = 2^n

我们知道它会一直迭代到i >= N

因此，

i < N 

现在，

2^n = i < N

N > 2^n

log2 N > log2 (2^n)

log2 N > n

我们知道它迭代n次，小于log2 N.

因此# iterations < log2 N或# iterations为O(log N)

QED。对数复杂度。

Answer 2

将N乘以2会再添加一次迭代，无论N的大小如何。这几乎就是对数函数的定义 - 每当你将N乘以一个常数时，它就会增加一个恒定的数量。

Answer 3

您的代码将一直有效i < N，每一步i *= 2。我们说如果它运行log(N) + const次，你的循环就具有对数的复杂性。 2 ^ log(N) = N，所以在[log(N)] + 1次i > N之后。{/ p>