渐近符号：如何证明n ^ 2 =Ω（nlogn）？

Question

我被要求证明或反驳以下猜想：

n ^ 2 =Ω（nlogn）

这个感觉应该非常简单，直觉上我觉得因为Ω是一个下界函数，而n ^ 2的定义比nlogn更高，所以它也很明显。但是，我觉得这不足以作为证明，或者可能是错误的......

例如，我知道属于Ω（nlogn）的任何东西也可以属于Ω（n）和Ω（logn），并且它们都是＆lt; = n ^ 2。这足以证明这一点吗？

我已经看到它在几个不同的地方以大欧米茄为例，没有解释原因。

在探索HelpYou的答案后，我试图证明这个猜想：

这是错的吗？ （P.S. - 也许使用T（n）在这里是错误的）

希望这个更准确......

Answer 1

方法1：

我们来看看：

f(n) = n^2

g(n) = n*logn

f(n) is in Ω(g(n)) if there is c > 0 and n0 > 0 such that:
f(n) >= c*g(n) for every n >= n0.

这意味着：

n*n >= c*n*logn          |:n ( n>=n0>0 )
n >= c*logn

我们选择c=1和n0=b^b（b - 对数基数，b＆gt; 1）：

n >= logn

对于每个n>=n0都是如此，因为b^b >= b

时b > 1

方法2：

          n*logn              logn      (*)        1/n *logb
   lim -------------- = lim ---------- ===== lim ------------ = 0
  n->inf   n^2         n->inf   n           n->inf    1

可以使用l'Hospital（*）进行演示。这就是因为结果是有限的值。

对于第二种方法，下表可能很有用：

f(n) = O/Ω/Ө(g(n))

                      O                     Ω                     Ө
------------------------------------------------------------------------
       f(n)  
 lim --------       finite                > 0                 > 0 & finite
n->inf g(n)  

       g(n)  
 lim --------        > 0                 finite               > 0 & finite 
n->inf f(n)