如何证明对数函数的复杂性？

Question

假设您有两个对数函数，例如

你被问到f（n）是否是O（g（n））Ω（g（n））或Θ（g（n）），你会怎么做？当你比较两个指数方程时，我发现像这样的问题更容易，因为例如x（n）= n ^ 2和p（n）= n ^ 2你可以找到一个c> 0（ex 3）其中x（n）＆lt; = cp（n）对于所有n大于某些n> 0并且将证明x（n）= O（p（n））。但是，由于某些原因，比较两个对数函数似乎要困难得多。感谢任何帮助，谢谢！

Answer 1

f(n) O(g(n)) a c常数n_0和f(n) <= c * g(n)，n >= n_0 Ω(g(n))。 f（n）为c iff常量n_0和f(n) >= c * g(n)，n >= n_0为f(n)。

现在，Θ(g(n))为f(n) iff O(g(n))为f(n)且Ω(g(n))为f(n) = log (n^2) = 2logn 。

所以，在你的情况下，我们有：

g(n)

这意味着logn是c = 2和f(n) <= 2 * logn，这意味着f(n) >= 2 * logn和Ω(logn)，这使得它成为f(n) <= n。

顺便说一下。它也是f(n) >= 1和f(n)，因此O(n)可以是O(g(n))，但我们不会使用它，因为我们可以找到更好的Ω。在这种情况下，我们在两种符号中都没有相同的功能，对于那些我们没有g(n)的值。但是，Ω只需要一个选项来声明Ω。如果我们无法找到它，我们会说它不是logn。注意单词＆＃34;我们说＆＃34;。

在第二种情况下，我们只关注最高增长值＆＃34;，c = 1部分。现在，g = log(n)和Ω(logn)，所以在这种情况下，它也是calc。